Tentukan nilai-nilai x yang memenuhi persamaan berikut

Nilai x yang memenuhi adalah 45°, 225°, 116.6°, dan 296.6°.

Pembahasan

Kita perlu menyelesaikan persamaan trigonometri 2 cot x = tan x + 1 untuk 0° ≤ x ≤ 360°.

Pertama, ubah cot x menjadi 1/tan x:
2 (1/tan x) = tan x + 1
2/tan x = tan x + 1

Kalikan kedua sisi dengan tan x untuk menghilangkan penyebut (dengan asumsi tan x ≠ 0):
2 = tan^2 x + tan x

Pindahkan semua suku ke satu sisi untuk membentuk persamaan kuadrat dalam tan x:
tan^2 x + tan x - 2 = 0

Misalkan y = tan x, maka persamaan menjadi:
y^2 + y - 2 = 0

Faktorkan persamaan kuadrat:
(y + 2)(y - 1) = 0

Ini memberikan dua kemungkinan nilai untuk y (y = tan x):
y = 1 atau y = -2

Jadi, kita memiliki:
tan x = 1 atau tan x = -2

Sekarang, kita cari nilai x dalam rentang 0° ≤ x ≤ 360° untuk setiap kasus:

Kasus 1: tan x = 1
Dalam rentang 0° ≤ x ≤ 360°, nilai x di mana tangen adalah 1 adalah di kuadran I dan III.
- Kuadran I: x = 45°
- Kuadran III: x = 180° + 45° = 225°

Kasus 2: tan x = -2
Dalam rentang 0° ≤ x ≤ 360°, nilai x di mana tangen negatif adalah di kuadran II dan IV.
Kita perlu mencari sudut referensi (α) di mana tan(α) = 2. Menggunakan kalkulator, α = arctan(2) ≈ 63.4°.
- Kuadran II: x = 180° - α ≈ 180° - 63.4° = 116.6°
- Kuadran IV: x = 360° - α ≈ 360° - 63.4° = 296.6°

Kita juga perlu memeriksa kembali asumsi tan x ≠ 0. Jika tan x = 0, maka x = 0°, 180°, 360°. Pada nilai-nilai ini, cot x tidak terdefinisi, jadi kita tidak perlu khawatir tentang pembagian dengan nol atau ketidakterdefinisian cot x.