Tentukan nilai-nilai x yang memenuhi pertidaksamaan

Solusi pertidaksamaan: a. -1 <= x < 0 atau 1 < x <= 2; b. -2 < x < 0 atau 1 < x < 3.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan logaritma 2log(x^2-x)<=1, kita ubah 1 menjadi 2log(2). Sehingga pertidaksamaan menjadi 2log(x^2-x)<=2log(2). Karena basis logaritma (2) lebih besar dari 1, maka kita bisa menghilangkan logaritma dengan tetap mempertahankan arah pertidaksamaan: x^2-x <= 2. Pindahkan 2 ke sisi kiri: x^2-x-2 <= 0. Faktorkan kuadrat: (x-2)(x+1) <= 0. Nilai x yang memenuhi adalah -1 <= x <= 2. Namun, kita juga harus memperhatikan syarat numerus (argumen logaritma) yang harus positif, yaitu x^2-x > 0. Faktorkan: x(x-1) > 0. Nilai x yang memenuhi adalah x < 0 atau x > 1. Menggabungkan kedua kondisi (-1 <= x <= 2 dan (x < 0 atau x > 1)), maka solusi untuk bagian a adalah -1 <= x < 0 atau 1 < x <= 2.

Untuk pertidaksamaan (1/6)log(x^2-x)>-1, kita ubah -1 menjadi (1/6)log((1/6)^-1) = (1/6)log(6). Sehingga pertidaksamaan menjadi (1/6)log(x^2-x) > (1/6)log(6). Karena basis logaritma (1/6) kurang dari 1, maka kita harus membalik arah pertidaksamaan saat menghilangkan logaritma: x^2-x < 6. Pindahkan 6 ke sisi kiri: x^2-x-6 < 0. Faktorkan kuadrat: (x-3)(x+2) < 0. Nilai x yang memenuhi adalah -2 < x < 3. Kita juga harus memperhatikan syarat numerus x^2-x > 0, yang solusinya adalah x < 0 atau x > 1. Menggabungkan kedua kondisi (-2 < x < 3 dan (x < 0 atau x > 1)), maka solusi untuk bagian b adalah -2 < x < 0 atau 1 < x < 3.