Tentukan nilai optimum (maksimum dan minimum) dari fungsi

Nilai minimumnya adalah 5 dan nilai maksimumnya adalah 12.

Pembahasan

Untuk menentukan nilai optimum (maksimum dan minimum) dari fungsi objektif f(x,y) = x + 2y pada daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan, kita perlu mengikuti langkah-langkah berikut:

1. **Menggambar Daerah Penyelesaian:**
   Pertama, kita ubah pertidaksamaan menjadi persamaan untuk menemukan garis batasnya:
   - 2x + y = 6
     Jika x=0, y=6. Titik (0, 6).
     Jika y=0, 2x=6 => x=3. Titik (3, 0).
   - x + y = 5
     Jika x=0, y=5. Titik (0, 5).
     Jika y=0, x=5. Titik (5, 0).
   - x = 0 (sumbu y)
   - y = 0 (sumbu x)

   Selanjutnya, kita tentukan daerah yang memenuhi pertidaksamaan dengan menguji satu titik (misalnya (0,0)):
   - 2x + y ≥ 6: 2(0) + 0 ≥ 6 => 0 ≥ 6 (Salah). Daerahnya menjauhi (0,0).
   - x + y ≥ 5: 0 + 0 ≥ 5 => 0 ≥ 5 (Salah). Daerahnya menjauhi (0,0).
   - x ≥ 0: Daerah di kanan sumbu y.
   - y ≥ 0: Daerah di atas sumbu x.

   Daerah penyelesaian adalah daerah yang dibatasi oleh garis 2x + y = 6, x + y = 5, sumbu x, dan sumbu y, yang berada di kuadran I dan menjauhi titik (0,0) untuk kedua garis.

2. **Mencari Titik-titik Sudut (Titik Pojok) Daerah Penyelesaian:**
   Titik-titik sudut adalah perpotongan garis-garis batas:
   - Perpotongan sumbu y (x=0) dengan 2x + y = 6: 2(0) + y = 6 => y = 6. Titik A = (0, 6).
   - Perpotongan sumbu y (x=0) dengan x + y = 5: 0 + y = 5 => y = 5. Titik B = (0, 5).
   - Perpotongan sumbu x (y=0) dengan 2x + y = 6: 2x + 0 = 6 => x = 3. Titik C = (3, 0).
   - Perpotongan sumbu x (y=0) dengan x + y = 5: x + 0 = 5 => x = 5. Titik D = (5, 0).
   - Perpotongan garis 2x + y = 6 dan x + y = 5:
     Kurangkan persamaan kedua dari persamaan pertama:
     (2x + y) - (x + y) = 6 - 5
     x = 1
     Substitusikan x=1 ke salah satu persamaan, misalnya x + y = 5:
     1 + y = 5 => y = 4. Titik E = (1, 4).

   Namun, kita perlu memperhatikan bahwa daerah penyelesaian adalah yang memenuhi SEMUA pertidaksamaan. Dengan x ≥ 0 dan y ≥ 0, kita berada di kuadran I. Garis 2x+y=6 memotong sumbu y di 6 dan sumbu x di 3. Garis x+y=5 memotong sumbu y di 5 dan sumbu x di 5.
   Karena 2x+y ≥ 6 dan x+y ≥ 5, daerah penyelesaian berada di atas kedua garis tersebut.
   Titik-titik sudut yang relevan adalah:
   - Perpotongan 2x + y = 6 dan x = 0 (sumbu y): (0, 6). (Memenuhi x+y>=5 karena 0+6=6>=5)
   - Perpotongan 2x + y = 6 dan x + y = 5: (1, 4).
   - Perpotongan x + y = 5 dan y = 0 (sumbu x): (5, 0). (Memenuhi 2x+y>=6 karena 2(5)+0=10>=6)

   Jadi, titik-titik sudut daerah penyelesaian adalah (0, 6), (1, 4), dan (5, 0).

3. **Menghitung Nilai Fungsi Objektif di Setiap Titik Sudut:**
   Fungsi objektif: f(x,y) = x + 2y
   - Di titik (0, 6): f(0, 6) = 0 + 2(6) = 12
   - Di titik (1, 4): f(1, 4) = 1 + 2(4) = 1 + 8 = 9
   - Di titik (5, 0): f(5, 0) = 5 + 2(0) = 5

4. **Menentukan Nilai Optimum:**
   Nilai minimum dari fungsi objektif adalah nilai terkecil di antara hasil perhitungan, yaitu 5.
   Nilai maksimum dari fungsi objektif adalah nilai terbesar di antara hasil perhitungan, yaitu 12.

Jadi, nilai optimum (minimum) adalah 5 pada titik (5, 0), dan nilai optimum (maksimum) adalah 12 pada titik (0, 6).