Tentukan nilai p yang memenuhi agar persamaan kuadrat

Nilai p yang memenuhi adalah p < 2 atau p > 4.

Pembahasan

Agar persamaan kuadrat $2x^2 - 2px - 4x + 5p - 2 = 0$ mempunyai akar nyata berlainan, diskriminannya harus lebih besar dari nol ($D > 0$).

Pertama, kita susun ulang persamaan kuadrat tersebut ke dalam bentuk standar $ax^2 + bx + c = 0$:
$2x^2 + (-2p - 4)x + (5p - 2) = 0$

Dari persamaan ini, kita dapat mengidentifikasi koefisien-koefisiennya:
a = 2
b = -2p - 4
c = 5p - 2

Diskriminan (D) dihitung menggunakan rumus $D = b^2 - 4ac$.

Substitusikan nilai a, b, dan c ke dalam rumus diskriminan:
$D = (-2p - 4)^2 - 4(2)(5p - 2)$
$D = (-(2p + 4))^2 - 8(5p - 2)$
$D = (2p + 4)^2 - 40p + 16$
$D = (4p^2 + 16p + 16) - 40p + 16$
$D = 4p^2 + 16p + 16 - 40p + 16$
$D = 4p^2 - 24p + 32$

Agar persamaan mempunyai akar nyata berlainan, maka $D > 0$:
$4p^2 - 24p + 32 > 0$

Kita bisa menyederhanakan pertidaksamaan ini dengan membagi seluruhnya dengan 4:
$p^2 - 6p + 8 > 0$

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat ini, kita cari akar-akar dari persamaan $p^2 - 6p + 8 = 0$:
$(p - 2)(p - 4) = 0$

Akar-akarnya adalah $p = 2$ dan $p = 4$.

Sekarang kita tentukan interval mana yang memenuhi $p^2 - 6p + 8 > 0$. Kita bisa menguji nilai di setiap interval yang dibentuk oleh akar-akar tersebut: (-∞, 2), (2, 4), dan (4, ∞).

- Untuk interval $p < 2$, ambil $p = 0$: $(0)^2 - 6(0) + 8 = 8$. $8 > 0$, jadi interval ini memenuhi.
- Untuk interval $2 < p < 4$, ambil $p = 3$: $(3)^2 - 6(3) + 8 = 9 - 18 + 8 = -1$. $-1 
gtr 0$, jadi interval ini tidak memenuhi.
- Untuk interval $p > 4$, ambil $p = 5$: $(5)^2 - 6(5) + 8 = 25 - 30 + 8 = 3$. $3 > 0$, jadi interval ini memenuhi.

Jadi, nilai p yang memenuhi agar persamaan kuadrat mempunyai akar nyata berlainan adalah $p < 2$ atau $p > 4$.

Dalam notasi himpunan, solusinya adalah {p | p < 2 atau p > 4}.