Tentukan nilai sigma k=1 n 3/(k(k+1)).

Nilai sigma k=1 hingga n dari 3/(k(k+1)) adalah 3n/(n+1).

Pembahasan

Soal ini meminta kita untuk menghitung nilai sigma dari ekspresi 3/(k(k+1)) untuk k dari 1 sampai n. Ini adalah masalah penjumlahan deret teleskopik.

Langkah 1: Uraikan ekspresi menggunakan dekomposisi pecahan parsial.
Kita ingin mencari A dan B sedemikian rupa sehingga:
3/(k(k+1)) = A/k + B/(k+1)
Kalikan kedua sisi dengan k(k+1):
3 = A(k+1) + Bk

Untuk mencari A, kita bisa mengatur k=0:
3 = A(0+1) + B(0)
3 = A

Untuk mencari B, kita bisa mengatur k=-1:
3 = A(-1+1) + B(-1)
3 = -B
B = -3

Jadi, 3/(k(k+1)) = 3/k - 3/(k+1) = 3 * (1/k - 1/(k+1)).

Langkah 2: Tuliskan sigma dengan bentuk yang telah diuraikan.
Sigma k=1 n [3/(k(k+1))] = Sigma k=1 n [3 * (1/k - 1/(k+1))]
Kita bisa mengeluarkan konstanta 3:
= 3 * Sigma k=1 n [(1/k - 1/(k+1))]

Langkah 3: Ekspansikan sigma untuk melihat pola teleskopik.
Sigma k=1 n [(1/k - 1/(k+1))] = (1/1 - 1/2) + (1/2 - 1/3) + (1/3 - 1/4) + ... + (1/n - 1/(n+1))

Dalam penjumlahan ini, suku -1/2 akan saling menghilangkan dengan +1/2, -1/3 akan saling menghilangkan dengan +1/3, dan seterusnya. Ini disebut deret teleskopik.

Setelah pembatalan, yang tersisa adalah:
= 1/1 - 1/(n+1)
= 1 - 1/(n+1)

Langkah 4: Kalikan dengan konstanta 3.
Nilai sigma = 3 * [1 - 1/(n+1)]
= 3 * [(n+1 - 1)/(n+1)]
= 3 * [n/(n+1)]
= 3n/(n+1)

Jadi, nilai sigma k=1 n 3/(k(k+1)) adalah 3n/(n+1).