Tentukan nilai vang memenuhi pertidaksamaan berikut dengan

Himpunan penyelesaiannya adalah [0, 4].

Pembahasan

Untuk menentukan nilai x yang memenuhi pertidaksamaan |x^2-x-2/x+1|<=2, kita perlu memecahkannya menjadi dua kasus berdasarkan definisi nilai mutlak.

Pertama, kita sederhanakan ekspresi di dalam nilai mutlak jika memungkinkan. Perhatikan bahwa x^2 - x - 2 dapat difaktorkan menjadi (x-2)(x+1). Maka, pertidaksamaan menjadi: |(x-2)(x+1)/(x+1)| <= 2

Jika x ≠ -1, kita dapat menyederhanakan menjadi: |x-2| <= 2

Sekarang kita pecah menjadi dua kasus:
Kasus 1: x - 2 <= 2
x <= 2 + 2
x <= 4

Kasus 2: x - 2 >= -2
x >= -2 + 2
x >= 0

Jadi, untuk Kasus 1, solusinya adalah 0 <= x <= 4.

Namun, kita perlu ingat bahwa x ≠ -1. Dalam rentang 0 <= x <= 4, nilai x = -1 tidak termasuk, sehingga solusi ini valid.

Kita juga perlu mempertimbangkan kasus ketika ekspresi di dalam nilai mutlak negatif. Namun, karena kita sudah menyederhanakan |(x-2)(x+1)/(x+1)| menjadi |x-2| dengan asumsi x ≠ -1, kita sudah mencakup semua kemungkinan nilai x (kecuali -1) yang membuat ekspresi tersebut positif atau negatif.

Perlu diperhatikan juga jika ada nilai x yang membuat penyebut (x+1) bernilai nol, yaitu x = -1. Nilai x = -1 tidak diperbolehkan dalam pertidaksamaan ini karena akan menyebabkan pembagian dengan nol.

Jadi, himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan |x^2-x-2/x+1|<=2 adalah semua nilai x sedemikian rupa sehingga 0 <= x <= 4 dan x ≠ -1. Karena -1 tidak termasuk dalam rentang [0, 4], maka himpunan penyelesaiannya adalah [0, 4].