Tentukan p dan q, jika suku banyak x^3+3x^2+px+2 dan

Nilai p adalah 3 dan nilai q adalah -3.

Pembahasan

Misalkan kedua suku banyak tersebut adalah P(x) = x^3 + 3x^2 + px + 2 dan Q(x) = x^3 - 3x^2 + qx - 4. 
Jika kedua suku banyak memiliki faktor berderajat dua yang sama, mari kita sebut faktor tersebut sebagai (x^2 + ax + b). Maka, kita dapat menulis:

P(x) = (x - r1)(x^2 + ax + b)
Q(x) = (x - r2)(x^2 + ax + b)

Dengan membandingkan koefisien dari kedua suku banyak, kita dapat menemukan nilai p dan q.

Karena (x^2 + ax + b) adalah faktor dari P(x), maka P(x) dapat difaktorkan menjadi (x - r1)(x^2 + ax + b) = x^3 + (a - r1)x^2 + (b - ar1)x - br1.

Dengan membandingkan koefisien P(x) = x^3 + 3x^2 + px + 2:
1 = 1
3 = a - r1
p = b - ar1
2 = -br1

Karena (x^2 + ax + b) adalah faktor dari Q(x), maka Q(x) dapat difaktorkan menjadi (x - r2)(x^2 + ax + b) = x^3 + (a - r2)x^2 + (b - ar2)x - br2.

Dengan membandingkan koefisien Q(x) = x^3 - 3x^2 + qx - 4:
1 = 1
-3 = a - r2
q = b - ar2
-4 = -br2

Dari persamaan 2 = -br1 dan -4 = -br2, kita dapatkan br1 = -2 dan br2 = 4. 
Jika kita misalkan b = 2, maka r1 = -1 dan r2 = -2.
Substitusikan nilai b=2 dan r1=-1 ke persamaan koefisien P(x):
3 = a - (-1) => a = 2
p = 2 - (2)(-1) = 2 + 2 = 4

Substitusikan nilai b=2 dan r2=-2 ke persamaan koefisien Q(x):
-3 = a - (-2) => -3 = a + 2 => a = -5

Terjadi kontradiksi pada nilai 'a'. Mari kita coba pendekatan lain.

Jika kedua suku banyak memiliki faktor berderajat dua yang sama, maka kita dapat mengalikan faktor tersebut dengan suatu konstanta dan akar yang berbeda untuk mendapatkan kedua suku banyak.

Misalkan faktor bersama adalah $f(x) = x^2 + ax + b$. 
Maka $x^3+3x^2+px+2 = (x-r_1)(x^2+ax+b)$ dan $x^3-3x^2+qx-4 = (x-r_2)(x^2+ax+b)$.

Dari $x^3+3x^2+px+2 = x^3 + (a-r_1)x^2 + (b-ar_1)x - br_1$, kita dapatkan:
$a-r_1 = 3$  (1)
$b-ar_1 = p$  (2)
$-br_1 = 2$  (3)

Dari $x^3-3x^2+qx-4 = x^3 + (a-r_2)x^2 + (b-ar_2)x - br_2$, kita dapatkan:
$a-r_2 = -3$ (4)
$b-ar_2 = q$ (5)
$-br_2 = -4$ (6)

Dari (3), $br_1 = -2$. Dari (6), $br_2 = 4$.
Jika kita jumlahkan (1) dan (4): $2a - (r_1+r_2) = 0 
ightarrow r_1+r_2 = 2a$.
Jika kita kalikan (1) dengan $r_2$ dan (4) dengan $r_1$: $ar_2 - r_1r_2 = 3r_2$ dan $ar_1 - r_1r_2 = -3r_1$. 
Kurangkan kedua persamaan ini: $a(r_2-r_1) = 3(r_2+r_1)$.
Gunakan $r_1 = -2/b$ dan $r_2 = -4/b$ dari (3) dan (6).
$a(-4/b - (-2/b)) = 3(-4/b + (-2/b))$
$a(-2/b) = 3(-6/b)$
$-2a/b = -18/b$
$-2a = -18$
$a = 9$.

Substitusikan $a=9$ ke (1): $9 - r_1 = 3 
ightarrow r_1 = 6$.
Substitusikan $a=9$ ke (4): $9 - r_2 = -3 
ightarrow r_2 = 12$.

Cek dengan (3): $b(6) = -2 
ightarrow b = -1/3$.
Cek dengan (6): $b(12) = 4 
ightarrow b = 4/12 = 1/3$.
Nilai $b$ tidak konsisten. Terdapat kesalahan dalam asumsi atau perhitungan.

Mari kita gunakan sifat akar. Jika $x^2+ax+b$ adalah faktor bersama, maka akar-akar dari $x^2+ax+b$ adalah akar bersama dari kedua polinomial.
Misalkan akar bersama adalah $\alpha$ dan $\beta$. Maka $x^2+ax+b = (x-\alpha)(x-\beta) = x^2 - (\alpha+\beta)x + \alpha\beta$. Jadi $a = -(\alpha+\beta)$ dan $b = \alpha\beta$.

Untuk $x^3+3x^2+px+2=0$, akar-akarnya adalah $\alpha, \beta, r_1$. Maka berlaku:
$\alpha+\beta+r_1 = -3$
$\alpha\beta + \alpha r_1 + \beta r_1 = p$
$\alpha\beta r_1 = -2$

Untuk $x^3-3x^2+qx-4=0$, akar-akarnya adalah $\alpha, \beta, r_2$. Maka berlaku:
$\alpha+\beta+r_2 = 3$
$\alpha\beta + \alpha r_2 + \beta r_2 = q$
$\alpha\beta r_2 = 4$

Dari $\alpha\beta r_1 = -2$ dan $\alpha\beta r_2 = 4$, kita dapatkan $\frac{\alpha\beta r_1}{\alpha\beta r_2} = \frac{-2}{4} 
ightarrow \frac{r_1}{r_2} = -1/2 
ightarrow r_2 = -2r_1$.

Dari $\alpha+\beta+r_1 = -3$ dan $\alpha+\beta+r_2 = 3$, kita dapatkan $(\alpha+\beta) = -3-r_1$ dan $(\alpha+\beta) = 3-r_2$.
Maka $-3-r_1 = 3-r_2 
ightarrow r_2 - r_1 = 6$.
Substitusikan $r_2 = -2r_1$: $-2r_1 - r_1 = 6 
ightarrow -3r_1 = 6 
ightarrow r_1 = -2$.
Maka $r_2 = -2(-2) = 4$.

Sekarang kita cari $\alpha+\beta$ dan $\alpha\beta$.
$\alpha+\beta = -3 - r_1 = -3 - (-2) = -1$.
$\alpha\beta = -2/r_1 = -2/(-2) = 1$.

Sekarang kita cari p dan q.
$p = \alpha\beta + r_1(\alpha+\beta) = 1 + (-2)(-1) = 1 + 2 = 3$.
$q = \alpha\beta + r_2(\alpha+\beta) = 1 + (4)(-1) = 1 - 4 = -3$.

Jadi, p = 3 dan q = -3.