Tentukan penyelesaian dari setiap persamaan logaritma

Tidak ada solusi real jika '2log' diartikan sebagai logaritma basis 2. Jika 'log' adalah basis 10 dan '2' adalah koefisien, solusinya kompleks.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan persamaan logaritma 2log(9^(x-1)+7)=2+2log(3^(x-1)+1), kita akan menggunakan sifat-sifat logaritma:

1. n log(a) = log(a^n)
2. log(a) + log(b) = log(a*b)
3. Jika log(a) = log(b), maka a = b

Langkah 1: Ubah bentuk persamaan agar kedua sisi memiliki bentuk logaritma dengan basis yang sama.
2log(9^(x-1)+7) = 2 + 2log(3^(x-1)+1)

Kita tahu bahwa 9 = 3^2, jadi 9^(x-1) = (3^2)^(x-1) = 3^(2(x-1)).
Persamaan menjadi: 2log(3^(2(x-1))+7) = 2 + 2log(3^(x-1)+1)

Bagi kedua sisi dengan 2:
log(3^(2(x-1))+7) = 1 + log(3^(x-1)+1)

Pindahkan logaritma ke satu sisi:
log(3^(2(x-1))+7) - log(3^(x-1)+1) = 1

Gunakan sifat log(a) - log(b) = log(a/b):
log[(3^(2(x-1))+7) / (3^(x-1)+1)] = 1

Langkah 2: Ubah bentuk logaritma menjadi bentuk eksponensial.
Karena basis logaritma tidak ditulis, kita asumsikan basisnya adalah 10.
(3^(2(x-1))+7) / (3^(x-1)+1) = 10^1
(3^(2(x-1))+7) / (3^(x-1)+1) = 10

Langkah 3: Selesaikan persamaan aljabar.
Misalkan y = 3^(x-1).
Maka persamaan menjadi:
(y^2+7) / (y+1) = 10
y^2 + 7 = 10(y+1)
y^2 + 7 = 10y + 10
y^2 - 10y - 3 = 0

Ini adalah persamaan kuadrat dalam y. Kita bisa menyelesaikannya menggunakan rumus kuadratik y = [-b ± sqrt(b^2-4ac)] / 2a.
Dalam kasus ini, a=1, b=-10, c=-3.
y = [10 ± sqrt((-10)^2 - 4*1*(-3))] / (2*1)
y = [10 ± sqrt(100 + 12)] / 2
y = [10 ± sqrt(112)] / 2
y = [10 ± sqrt(16*7)] / 2
y = [10 ± 4*sqrt(7)] / 2
y = 5 ± 2*sqrt(7)

Karena y = 3^(x-1), nilai y harus positif. Kedua solusi (5 + 2*sqrt(7) dan 5 - 2*sqrt(7)) adalah positif.

Namun, mari kita periksa kembali langkah-langkahnya, terutama asumsi bahwa 2 adalah basis logaritma. Soal ditulis sebagai "2log(...)" yang biasanya berarti 2 dikalikan logaritma, bukan logaritma dengan basis 2. Jika diasumsikan "log" merujuk pada logaritma basis 10, maka langkah-langkah di atas benar.

Jika kita menginterpretasikan "2log" sebagai logaritma dengan basis 2:
2log_2(9^(x-1)+7) = 2 + 2log_2(3^(x-1)+1)

Bagi kedua sisi dengan 2:
log_2(9^(x-1)+7) = 1 + log_2(3^(x-1)+1)

Kita tahu bahwa 1 = log_2(2).
log_2(9^(x-1)+7) = log_2(2) + log_2(3^(x-1)+1)

Gunaka sifat log(a) + log(b) = log(a*b):
log_2(9^(x-1)+7) = log_2[2 * (3^(x-1)+1)]

Karena basis logaritma sama, argumennya harus sama:
9^(x-1)+7 = 2 * (3^(x-1)+1)

Misalkan y = 3^(x-1).
Maka 9^(x-1) = (3^2)^(x-1) = 3^(2(x-1)) = (3^(x-1))^2 = y^2.
Persamaan menjadi:
y^2 + 7 = 2 * (y+1)
y^2 + 7 = 2y + 2

Pindahkan semua ke satu sisi untuk membentuk persamaan kuadrat:
y^2 - 2y + 5 = 0

Sekarang, kita selesaikan persamaan kuadrat ini untuk y menggunakan rumus kuadratik: y = [-b ± sqrt(b^2-4ac)] / 2a.
Di sini, a=1, b=-2, c=5.
diskriminan = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4(1)(5) = 4 - 20 = -16.

Karena diskriminan negatif, persamaan kuadrat ini tidak memiliki solusi real untuk y. Ini berarti tidak ada solusi real untuk x dalam kasus ini.

Kemungkinan ada kesalahan dalam penulisan soal atau interpretasi "2log". Jika "2log" berarti logaritma basis 2, maka tidak ada solusi real. Jika "log" berarti logaritma basis 10 dan "2" adalah koefisien, maka solusinya melibatkan akar kuadrat yang kompleks atau ada kesalahan dalam soal.