Tentukan penyelesaian dari sistem persamaan linear berikut.

x = 6z - 13, y = 5z - 8, z = z (parameter)

Pembahasan

Untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dengan tiga variabel (x, y, z) ketika hanya diberikan dua persamaan, kita biasanya perlu menemukan solusi dalam bentuk parametrik atau menyimpulkan bahwa ada tak terhingga banyak solusi.

Sistem persamaan yang diberikan:
1) x - y - z = -5
2) x - 2y + 4z = 3

Kita bisa menggunakan metode eliminasi atau substitusi untuk mencoba menyelesaikan sistem ini.
Mari kita gunakan metode eliminasi untuk mengeliminasi salah satu variabel, misalnya x.
Kurangkan Persamaan (1) dari Persamaan (2):
(x - 2y + 4z) - (x - y - z) = 3 - (-5)
x - 2y + 4z - x + y + z = 3 + 5
-y + 5z = 8

Sekarang kita memiliki satu persamaan dengan dua variabel: -y + 5z = 8.
Dari persamaan ini, kita bisa mengekspresikan y dalam bentuk z (atau sebaliknya).
Mari kita ekspresikan y dalam bentuk z:
-y = 8 - 5z
y = -8 + 5z
y = 5z - 8

Selanjutnya, substitusikan ekspresi y ini ke salah satu persamaan awal untuk menemukan x dalam bentuk z.
Mari kita gunakan Persamaan (1): x - y - z = -5
x - (5z - 8) - z = -5
x - 5z + 8 - z = -5
x - 6z + 8 = -5
x = -5 - 8 + 6z
x = 6z - 13

Jadi, solusi dari sistem persamaan linear ini dapat dinyatakan dalam bentuk parametrik dengan z sebagai parameter:
x = 6z - 13
y = 5z - 8
z = z (parameter bebas)

Ini berarti ada tak terhingga banyak solusi, yang bergantung pada nilai z yang dipilih. Setiap nilai real untuk z akan memberikan satu solusi (x, y, z) yang memenuhi kedua persamaan tersebut.

Contoh solusi:
Jika z = 0, maka x = -13, y = -8. Solusi: (-13, -8, 0)
Cek: -13 - (-8) - 0 = -13 + 8 = -5 (Benar)
-13 - 2(-8) + 4(0) = -13 + 16 = 3 (Benar)

Jika z = 1, maka x = 6(1) - 13 = -7, y = 5(1) - 8 = -3. Solusi: (-7, -3, 1)
Cek: -7 - (-3) - 1 = -7 + 3 - 1 = -5 (Benar)
-7 - 2(-3) + 4(1) = -7 + 6 + 4 = 3 (Benar)