Tentukan penyelesaian persamaan trigonometri berikut. 3cos

Penyelesaiannya adalah $x=n \cdot 360^{\circ}$ dan $x = 2\arctan(\frac{1}{3}) + n \cdot 360^{\circ}$.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan persamaan trigonometri $3\cos x + \sin x = 3$ dengan mengubah bentuk $a \cos x + b \sin x$ menjadi $k \cos(x - \alpha)$, kita ikuti langkah-langkah berikut:

1.  **Ubah bentuk ke $k \cos(x - \alpha)$:**
    Bentuk umum $a \cos x + b \sin x$ dapat diubah menjadi $k \cos(x - \alpha)$, di mana $k = \sqrt{a^2 + b^2}$ dan $\alpha$ adalah sudut yang memenuhi $\cos \alpha = \frac{a}{k}$ dan $\sin \alpha = \frac{b}{k}$.
    Dalam persamaan ini, $a = 3$ dan $b = 1$.
    $k = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$.
    $\\cos \alpha = \frac{3}{\\sqrt{10}}$ dan $\\sin \alpha = \frac{1}{\\sqrt{10}}$.
    Nilai $\\alpha$ dapat ditemukan menggunakan $\\tan \alpha = \frac{b}{a} = \frac{1}{3}$. $\\alpha = \arctan(\frac{1}{3})$.
    Sehingga persamaan menjadi $\sqrt{10} \cos(x - \alpha) = 3$, atau $\cos(x - \alpha) = \frac{3}{\\sqrt{10}}$.

2.  **Selesaikan persamaan kosinus:**
    Kita memiliki $\cos(x - \alpha) = \frac{3}{\\sqrt{10}}$.
    Karena $\\cos \alpha = \frac{3}{\\sqrt{10}}$, maka $\\cos(x - \alpha) = \\cos \alpha$.
    Ini berarti $x - \alpha = \pm \alpha + n \cdot 360^{\circ}$, di mana $n$ adalah bilangan bulat.

3.  **Cari nilai x:**
    Kasus 1: $x - \alpha = \alpha + n \cdot 360^{\circ}$
    $x = 2\alpha + n \cdot 360^{\circ}$

    Kasus 2: $x - \alpha = -\alpha + n \cdot 360^{\circ}$
    $x = 0 + n \cdot 360^{\circ}$
    $x = n \cdot 360^{\circ}$

    Karena $\alpha$ adalah sudut lancip (karena $\cos \alpha$ dan $\sin \alpha$ positif), maka $x=0^{\circ}$ adalah salah satu solusi.
    Jika kita substitusikan $x=0^{\circ}$ ke persamaan awal: $3\cos 0^{\circ} + \sin 0^{\circ} = 3(1) + 0 = 3$. Ini benar.

    Untuk kasus $x = 2\alpha + n \cdot 360^{\circ}$, karena $\cos \alpha = \frac{3}{\\sqrt{10}}$, maka $\\alpha \approx 18.43^{\circ}$.
    $x \approx 2(18.43^{\circ}) = 36.86^{\circ}$.
    Mari kita periksa solusi ini:
    $3 \cos(36.86^{\circ}) + \sin(36.86^{\circ}) \approx 3(0.8) + 0.6 = 2.4 + 0.6 = 3$. Ini juga benar.

    Jadi, penyelesaian umumnya adalah $x = n \cdot 360^{\circ}$ dan $x = 2\alpha + n \cdot 360^{\circ}$ di mana $\alpha = \arctan(\frac{1}{3})$.