Tentukan penyelsaian dari setiap persamaan eksponen berikut

x = 5, x = -1, x = 2 + 2√2

Pembahasan

Untuk menyelesaikan persamaan eksponen (x^2 - 4x - 4)^(x^2) = (x^2 - 4x - 4)^(x - 2), kita perlu mempertimbangkan beberapa kasus:

Kasus 1: Pangkatnya sama, yaitu x^2 = x - 2.
   x^2 - x + 2 = 0
   Diskriminan (D) = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4(1)(2) = 1 - 8 = -7.
   Karena diskriminan negatif, tidak ada solusi real dari kasus ini.

Kasus 2: Basisnya sama dengan 1, yaitu x^2 - 4x - 4 = 1.
   x^2 - 4x - 5 = 0
   (x - 5)(x + 1) = 0
   Solusi: x = 5 atau x = -1.
   Jika x = 5, maka 1^7 = 1^3, yang benar.
   Jika x = -1, maka 1^(-1)^2 = 1^(-1 - 2) => 1^1 = 1^(-3), yang benar.

Kasus 3: Basisnya sama dengan -1, yaitu x^2 - 4x - 4 = -1.
   x^2 - 4x - 3 = 0
   Kita gunakan rumus kuadratik: x = [-b ± sqrt(b^2 - 4ac)] / 2a
   x = [4 ± sqrt((-4)^2 - 4(1)(-3))] / 2(1)
   x = [4 ± sqrt(16 + 12)] / 2
   x = [4 ± sqrt(28)] / 2
   x = [4 ± 2*sqrt(7)] / 2
   x = 2 ± sqrt(7)
   Agar solusi ini valid, kedua pangkat harus memiliki paritas yang sama (keduanya genap atau keduanya ganjil).
   Jika x = 2 + sqrt(7):
     Pangkat 1: x^2 = (2 + sqrt(7))^2 = 4 + 4*sqrt(7) + 7 = 11 + 4*sqrt(7) (bukan bilangan bulat, jadi tidak bisa ditentukan paritasnya dengan mudah)
     Pangkat 2: x - 2 = (2 + sqrt(7)) - 2 = sqrt(7)
   Karena pangkatnya tidak menghasilkan bilangan bulat yang sama, kita tidak dapat memastikan kesamaan paritasnya secara langsung dari bentuk ini. Namun, jika kita menguji solusi ini, kita akan menemukan bahwa ia tidak memenuhi persamaan awal dalam bentuk yang sederhana.

Kasus 4: Basisnya sama dengan 0, yaitu x^2 - 4x - 4 = 0.
   x^2 - 4x - 4 = 0
   Diskriminan (D) = (-4)^2 - 4(1)(-4) = 16 + 16 = 32.
   x = [4 ± sqrt(32)] / 2
   x = [4 ± 4*sqrt(2)] / 2
   x = 2 ± 2*sqrt(2)
   Agar solusi ini valid, kedua pangkat harus positif.
   Pangkat 1: x^2
   Pangkat 2: x - 2
   Jika x = 2 + 2*sqrt(2):
     x^2 = (2 + 2*sqrt(2))^2 = 4 + 8*sqrt(2) + 8 = 12 + 8*sqrt(2) > 0
     x - 2 = 2 + 2*sqrt(2) - 2 = 2*sqrt(2) > 0
     Jadi, x = 2 + 2*sqrt(2) adalah solusi.
   Jika x = 2 - 2*sqrt(2):
     x^2 = (2 - 2*sqrt(2))^2 = 4 - 8*sqrt(2) + 8 = 12 - 8*sqrt(2) > 0
     x - 2 = 2 - 2*sqrt(2) - 2 = -2*sqrt(2) < 0
     Karena salah satu pangkat negatif, solusi ini tidak valid.

Dari analisis di atas, solusi yang valid adalah x = 5, x = -1, dan x = 2 + 2*sqrt(2).

Jawaban Ringkas: Solusi dari persamaan tersebut adalah x = 5, x = -1, dan x = 2 + 2√2.