Tentukan persamaan bayangan kurva di bawah ini jika

Persamaan bayangan kurva adalah y = -4x^2 + 12x - 13.

Pembahasan

Misalkan kurva awal adalah y = g(x). Kita diberikan persamaan kurva dalam bentuk p = g(2x - 3). Ini berarti kita perlu melakukan substitusi untuk mendapatkan bentuk y = f(x).

Kita tahu bahwa refleksi terhadap sumbu X mengubah koordinat (x, y) menjadi (x, -y). Jadi, jika persamaan bayangan kurva adalah y' = -y, maka y = -y'.

Kita memiliki persamaan p = g(2x - 3). Untuk menyederhanakannya, mari kita misalkan variabel baru, misal u = 2x - 3. Maka persamaan menjadi p = g(u).

Kita perlu mengekspresikan x dalam bentuk u:
u = 2x - 3
u + 3 = 2x
x = (u + 3) / 2

Sekarang, kita substitusikan kembali ke persamaan kurva awal yang diberikan: p = g(2x - 3) = 4x^2 - 12x + 13.
Ganti x dengan ((u + 3) / 2):
p = 4 * [((u + 3) / 2)]^2 - 12 * [(u + 3) / 2] + 13
p = 4 * [(u^2 + 6u + 9) / 4] - 6 * (u + 3) + 13
p = (u^2 + 6u + 9) - 6u - 18 + 13
p = u^2 + 6u + 9 - 6u - 18 + 13
p = u^2 + 4

Jadi, dalam bentuk variabel u, persamaan kurva adalah p = u^2 + 4. Mengganti kembali u dengan (2x - 3), kita dapatkan:
p = (2x - 3)^2 + 4

Karena refleksi terhadap sumbu X mengubah y menjadi -y, dan dalam kasus ini p berperan sebagai y, maka persamaan bayangan kurva adalah -p.

-p = (2x - 3)^2 + 4
-p = (4x^2 - 12x + 9) + 4
-p = 4x^2 - 12x + 13

Atau, kita bisa menuliskan persamaan bayangan kurva dalam bentuk p:
p = -(4x^2 - 12x + 13)
p = -4x^2 + 12x - 13

Namun, perhatikan bahwa notasi p = g(2x - 3) menyiratkan bahwa 'p' adalah output dari fungsi g ketika inputnya adalah (2x-3). Jika kita menganggap 'p' sebagai y, dan fungsi g adalah y = f(x), maka persamaan awal dapat ditulis sebagai y = f(2x - 3) = 4x^2 - 12x + 13.

Refleksi terhadap sumbu X mengubah y menjadi -y. Jadi, persamaan bayangan kurva adalah -y = f(2x - 3).
Ini berarti -y = 4x^2 - 12x + 13.
Atau, y = -(4x^2 - 12x + 13).
Menyederhanakan, y = -4x^2 + 12x - 13.

Jadi, persamaan bayangan kurva jika direfleksikan terhadap sumbu X adalah y = -4x^2 + 12x - 13.