tentukan persamaan garis singgung dari persamaan lingkaran

Persamaan garis singgungnya adalah $(-9 + \sqrt{65})x - 4y + (15 + \sqrt{65}) = 0$ dan $(-9 - \sqrt{65})x - 4y + (15 - \sqrt{65}) = 0$, dengan asumsi titik (1, 6) berada di luar lingkaran.

Pembahasan

Untuk menentukan persamaan garis singgung dari persamaan lingkaran $x^2 + y^2 + 4x - 6y = 0$ yang melalui titik (1, 6), kita perlu mengikuti langkah-langkah berikut:

1.  **Temukan pusat dan jari-jari lingkaran:**
    Persamaan lingkaran umum adalah $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$, di mana (h, k) adalah pusat dan r adalah jari-jari. Kita dapat mengubah persamaan yang diberikan ke bentuk ini dengan melengkapkan kuadrat:
    $x^2 + 4x + y^2 - 6y = 0$
    $(x^2 + 4x + 4) + (y^2 - 6y + 9) = 0 + 4 + 9$
    $(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 13$
    Jadi, pusat lingkaran adalah $(-2, 3)$ dan jari-jarinya adalah $\sqrt{13}$.

2.  **Periksa apakah titik berada pada lingkaran:**
    Substitusikan titik (1, 6) ke dalam persamaan lingkaran:
    $1^2 + 6^2 + 4(1) - 6(6) = 1 + 36 + 4 - 36 = 5 
eq 0$.
    Titik (1, 6) tidak berada pada lingkaran. Pernyataan soal bahwa lingkaran *melalui* titik tersebut mungkin keliru. Namun, jika yang dimaksud adalah mencari garis singgung *dari* titik tersebut *terhadap* lingkaran, maka prosesnya berbeda.

    Asumsi 1: Titik (1, 6) seharusnya berada pada lingkaran. Jika demikian, ada kesalahan dalam soal.
    Asumsi 2: Soal meminta garis singgung yang ditarik *dari* titik eksternal (1, 6) ke lingkaran.

    Kita akan melanjutkan dengan asumsi bahwa titik (1, 6) adalah titik di luar lingkaran dan kita mencari garis singgung yang melewati titik ini.

3.  **Metode 1: Menggunakan gradien garis singgung:**
    Misalkan titik singgung pada lingkaran adalah $(x_1, y_1)$.
    Persamaan garis singgung pada lingkaran $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$ di titik $(x_1, y_1)$ adalah $xx_1 + yy_1 + \frac{D}{2}(x+x_1) + \frac{E}{2}(y+y_1) + F = 0$.
    Untuk lingkaran $x^2 + y^2 + 4x - 6y = 0$, maka $D=4, E=-6, F=0$.
    Persamaan garis singgungnya adalah $xx_1 + yy_1 + 2(x+x_1) - 3(y+y_1) = 0$.
    Garis singgung ini harus melalui titik (1, 6). Substitusikan $x=1$ dan $y=6$:
    $x_1 + 6y_1 + 2(1+x_1) - 3(6+y_1) = 0$
    $x_1 + 6y_1 + 2 + 2x_1 - 18 - 3y_1 = 0$
    $3x_1 + 3y_1 - 16 = 0$  (Persamaan 1)

    Titik $(x_1, y_1)$ juga berada pada lingkaran, sehingga memenuhi:
    $x_1^2 + y_1^2 + 4x_1 - 6y_1 = 0$ (Persamaan 2)

    Dari Persamaan 1, kita dapatkan $3y_1 = 16 - 3x_1$, atau $y_1 = \frac{16 - 3x_1}{3}$. Substitusikan ke Persamaan 2:
    $x_1^2 + (\frac{16 - 3x_1}{3})^2 + 4x_1 - 6(\frac{16 - 3x_1}{3}) = 0$
    $x_1^2 + \frac{256 - 96x_1 + 9x_1^2}{9} + 4x_1 - 2(16 - 3x_1) = 0$
    $9x_1^2 + 256 - 96x_1 + 9x_1^2 + 36x_1 - 18(16 - 3x_1) = 0$
    $18x_1^2 - 60x_1 + 256 - 288 + 54x_1 = 0$
    $18x_1^2 - 6x_1 - 32 = 0$
    $9x_1^2 - 3x_1 - 16 = 0$

    Gunakan rumus kuadrat untuk mencari $x_1$:
    $x_1 = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(9)(-16)}}{2(9)}$
    $x_1 = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 576}}{18}$
    $x_1 = \frac{3 \pm \sqrt{585}}{18}$
    $x_1 = \frac{3 \pm 3\sqrt{65}}{18}$
    $x_1 = \frac{1 \pm \sqrt{65}}{6}$

    Untuk setiap nilai $x_1$, cari nilai $y_1$ yang sesuai menggunakan $y_1 = \frac{16 - 3x_1}{3}$.

    Kasus 1: $x_1 = \frac{1 + \sqrt{65}}{6}$
    $y_1 = \frac{16 - 3(\frac{1 + \sqrt{65}}{6})}{3} = \frac{16 - \frac{1 + \sqrt{65}}{2}}{3} = \frac{\frac{32 - 1 - \sqrt{65}}{2}}{3} = \frac{31 - \sqrt{65}}{6}$
    Titik singgung 1: $(\frac{1 + \sqrt{65}}{6}, \frac{31 - \sqrt{65}}{6})$

    Kasus 2: $x_1 = \frac{1 - \sqrt{65}}{6}$
    $y_1 = \frac{16 - 3(\frac{1 - \sqrt{65}}{6})}{3} = \frac{16 - \frac{1 - \sqrt{65}}{2}}{3} = \frac{\frac{32 - 1 + \sqrt{65}}{2}}{3} = \frac{31 + \sqrt{65}}{6}$
    Titik singgung 2: $(\frac{1 - \sqrt{65}}{6}, \frac{31 + \sqrt{65}}{6})$

4.  **Tentukan persamaan garis singgung:**
    Substitusikan titik-titik singgung ini kembali ke rumus garis singgung $xx_1 + yy_1 + 2(x+x_1) - 3(y+y_1) = 0$.

    Untuk titik singgung 1 $(\frac{1 + \sqrt{65}}{6}, \frac{31 - \sqrt{65}}{6})$:
    $x(\frac{1 + \sqrt{65}}{6}) + y(\frac{31 - \sqrt{65}}{6}) + 2(x + \frac{1 + \sqrt{65}}{6}) - 3(y + \frac{31 - \sqrt{65}}{6}) = 0$
    Kalikan dengan 6:
    $x(1 + \sqrt{65}) + y(31 - \sqrt{65}) + 12(x + \frac{1 + \sqrt{65}}{6}) - 18(y + \frac{31 - \sqrt{65}}{6}) = 0$
    $x + x\sqrt{65} + 31y - y\sqrt{65} + 12x + 2(1 + \sqrt{65}) - 18y - 3(31 - \sqrt{65}) = 0$
    $13x + 31y - 18y + x\sqrt{65} - y\sqrt{65} + 2 + 2\sqrt{65} - 93 + 3\sqrt{65} = 0$
    $13x + 13y + \sqrt{65}x - \sqrt{65}y - 91 + 5\sqrt{65} = 0$

    Alternatif lebih mudah: Gradien garis singgung pada lingkaran $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$ di titik $(x_1, y_1)$ adalah $m = -\frac{x_1-h}{y_1-k}$.
    Pusat lingkaran adalah $(-2, 3)$.
    Gradien garis yang menghubungkan pusat $(-2, 3)$ dengan titik eksternal $(1, 6)$ adalah $m_{pusat-titik} = \frac{6-3}{1-(-2)} = \frac{3}{3} = 1$.

    Misalkan gradien garis singgung adalah $m$. Persamaan garis singgung melalui $(1, 6)$ adalah $y - 6 = m(x - 1)$, atau $y = mx - m + 6$.
    Jarak dari pusat lingkaran $(-2, 3)$ ke garis singgung $mx - y + (6-m) = 0$ harus sama dengan jari-jari $\sqrt{13}$.
    Jarak = $\frac{|m(-2) - 3 + (6-m)|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = \sqrt{13}$
    $\frac{|-2m - 3 + 6 - m|}{\sqrt{m^2 + 1}} = \sqrt{13}$
    $\frac{|3 - 3m|}{\sqrt{m^2 + 1}} = \sqrt{13}$
    $|3(1 - m)| = \sqrt{13(m^2 + 1)}$
    Kuadratkan kedua sisi:
    $9(1 - m)^2 = 13(m^2 + 1)$
    $9(1 - 2m + m^2) = 13m^2 + 13$
    $9 - 18m + 9m^2 = 13m^2 + 13$
    $4m^2 + 18m + 4 = 0$
    $2m^2 + 9m + 2 = 0$

    Gunakan rumus kuadrat untuk mencari $m$:
    $m = \frac{-9 \pm \sqrt{9^2 - 4(2)(2)}}{2(2)}$
    $m = \frac{-9 \pm \sqrt{81 - 16}}{4}$
    $m = \frac{-9 \pm \sqrt{65}}{4}$

    Jadi, ada dua gradien garis singgung:
    $m_1 = \frac{-9 + \sqrt{65}}{4}$
    $m_2 = \frac{-9 - \sqrt{65}}{4}$

    Persamaan garis singgung 1:
    $y - 6 = \frac{-9 + \sqrt{65}}{4}(x - 1)$
    $4(y - 6) = (-9 + \sqrt{65})(x - 1)$
    $4y - 24 = (-9 + \sqrt{65})x - (-9 + \sqrt{65})$
    $(-9 + \sqrt{65})x - 4y + (24 - 9 + \sqrt{65}) = 0$
    $(-9 + \sqrt{65})x - 4y + (15 + \sqrt{65}) = 0$

    Persamaan garis singgung 2:
    $y - 6 = \frac{-9 - \sqrt{65}}{4}(x - 1)$
    $4(y - 6) = (-9 - \sqrt{65})(x - 1)$
    $4y - 24 = (-9 - \sqrt{65})x - (-9 - \sqrt{65})$
    $(-9 - \sqrt{65})x - 4y + (24 - 9 - \sqrt{65}) = 0$
    $(-9 - \sqrt{65})x - 4y + (15 - \sqrt{65}) = 0$

    Jawaban ini didasarkan pada asumsi bahwa titik (1, 6) berada di luar lingkaran dan soal menanyakan garis singgung yang ditarik dari titik tersebut. Jika titik (1, 6) seharusnya berada pada lingkaran, maka soal tidak konsisten atau ada kesalahan pengetikan dalam persamaan lingkaran atau koordinat titiknya.

    Jika kita mengasumsikan bahwa soal bermaksud mencari persamaan garis singgung *di* titik (1,6) dan titik itu memang berada pada lingkaran, maka seharusnya substitusi titik (1,6) ke dalam persamaan lingkaran menghasilkan nilai yang benar. Karena tidak, kita gunakan metode garis singgung dari titik luar. Jika ada kesalahan dalam menafsirkan soal, mohon diklarifikasi.