Diketahui a=(3 -2 0) dan b=(-1 2 -2) . Jika u=a+b dan v=a-b

2/3

Pembahasan

Soal ini meminta kita untuk mencari proyeksi skalar ortogonal vektor u pada vektor v, di mana u = a + b dan v = a - b, dengan:
a = (3, -2, 0)
b = (-1, 2, -2)

Langkah 1: Tentukan vektor u.
u = a + b
u = (3, -2, 0) + (-1, 2, -2)
u = (3 + (-1), -2 + 2, 0 + (-2))
u = (2, 0, -2)

Langkah 2: Tentukan vektor v.
v = a - b
v = (3, -2, 0) - (-1, 2, -2)
v = (3 - (-1), -2 - 2, 0 - (-2))
v = (3 + 1, -4, 0 + 2)
v = (4, -4, 2)

Langkah 3: Hitung proyeksi skalar ortogonal u pada v.
Rumus proyeksi skalar ortogonal u pada v (dinotasikan sebagai 'proj_v u') adalah:
proj_v u = (u · v) / ||v||

Di mana:
u · v adalah hasil kali titik (dot product) antara vektor u dan v.
||v|| adalah panjang (magnitudo) dari vektor v.

Langkah 3a: Hitung hasil kali titik (u · v).
u · v = (ux * vx) + (uy * vy) + (uz * vz)
u · v = (2 * 4) + (0 * -4) + (-2 * 2)
u · v = 8 + 0 + (-4)
u · v = 4

Langkah 3b: Hitung panjang (magnitudo) dari vektor v (||v||).
||v|| = sqrt(vx^2 + vy^2 + vz^2)
||v|| = sqrt(4^2 + (-4)^2 + 2^2)
||v|| = sqrt(16 + 16 + 4)
||v|| = sqrt(36)
||v|| = 6

Langkah 3c: Hitung proyeksi skalar ortogonal u pada v.
proj_v u = (u · v) / ||v||
proj_v u = 4 / 6
proj_v u = 2/3

Hasil proyeksi skalar ortogonal u pada v adalah 2/3.