Tentukan persamaan garis singgung kurva f yang tegak lurus

Persamaan garis singgungnya adalah y = -2x + π/2 + 1/2.

Pembahasan

Kita diminta untuk menentukan persamaan garis singgung kurva f yang tegak lurus dengan garis singgung kurva y = tan(x) / (1 + tan(x)) pada titik (π/4, 1/2).

Langkah 1: Cari gradien garis singgung kurva y = tan(x) / (1 + tan(x)) pada titik (π/4, 1/2).
Gunakan aturan hasil bagi untuk mencari turunan y:
y' = [sec^2(x)(1 + tan(x)) - tan(x) * sec^2(x)] / (1 + tan(x))^2
y' = [sec^2(x) + sec^2(x)tan(x) - tan(x)sec^2(x)] / (1 + tan(x))^2
y' = sec^2(x) / (1 + tan(x))^2

Evaluasi y' pada x = π/4:
Karena tan(π/4) = 1 dan sec(π/4) = √2, maka sec^2(π/4) = (√2)^2 = 2.
y'(π/4) = 2 / (1 + 1)^2 = 2 / (2)^2 = 2 / 4 = 1/2.
Jadi, gradien garis singgung pada kurva y = tan(x) / (1 + tan(x)) di titik (π/4, 1/2) adalah m1 = 1/2.

Langkah 2: Tentukan gradien garis singgung kurva f yang tegak lurus dengan garis singgung tersebut.
Jika dua garis tegak lurus, hasil kali gradiennya adalah -1. Misalkan gradien garis singgung kurva f adalah m2.
m1 * m2 = -1
(1/2) * m2 = -1
m2 = -2.

Langkah 3: Tentukan persamaan garis singgung kurva f yang memiliki gradien -2 dan melalui titik (π/4, 1/2).
Gunakan rumus persamaan garis y - y1 = m(x - x1).
y - 1/2 = -2(x - π/4)
y - 1/2 = -2x + 2(π/4)
y - 1/2 = -2x + π/2

Pindahkan konstanta ke sisi kanan:
y = -2x + π/2 + 1/2

Jadi, persamaan garis singgung kurva f yang tegak lurus dengan garis singgung kurva y = tan(x) / (1 + tan(x)) pada titik (π/4, 1/2) adalah y = -2x + π/2 + 1/2.