Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x^2+y^2-6

Persamaan garis singgung adalah $y = -x + 5 \pm 5\sqrt{2}$.

Pembahasan

Untuk menentukan persamaan garis singgung lingkaran $x^2+y^2-6x-4y-12=0$ yang tegak lurus dengan garis $y=x+4$, kita perlu mengikuti langkah-langkah berikut:

1. **Tentukan gradien garis singgung.**
Garis $y=x+4$ memiliki gradien $m_1 = 1$. Karena garis singgung lingkaran tegak lurus dengan garis ini, maka gradien garis singgung ($m_2$) memenuhi hubungan $m_1 	imes m_2 = -1$. Sehingga, $1 	imes m_2 = -1$, yang berarti $m_2 = -1$.

2. **Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran.**
Persamaan lingkaran umum adalah $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$, di mana $(a,b)$ adalah pusat dan $r$ adalah jari-jari. Dari persamaan $x^2+y^2-6x-4y-12=0$, kita bisa mengubahnya menjadi bentuk kuadrat sempurna:
$(x^2-6x) + (y^2-4y) = 12$
$(x^2-6x+9) + (y^2-4y+4) = 12+9+4$
$(x-3)^2 + (y-2)^2 = 25$
Pusat lingkaran adalah $(a,b) = (3,2)$ dan jari-jarinya adalah $r = 	ext{akar}(25) = 5$.

3. **Gunakan rumus jarak titik ke garis untuk mencari persamaan garis singgung.**
Persamaan garis singgung dengan gradien $m$ pada lingkaran $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$ adalah $y-b = m(x-a) 	ext{ +/- } r 	ext{ akar}(1+m^2)$.
Dalam kasus ini, $(a,b) = (3,2)$, $m = -1$, dan $r = 5$.
Substitusikan nilai-nilai tersebut:
$y-2 = -1(x-3) 	ext{ +/- } 5 	ext{ akar}(1+(-1)^2)$
$y-2 = -x+3 	ext{ +/- } 5 	ext{ akar}(2)$
$y = -x+5 	ext{ +/- } 5	ext{akar}(2)$

Jadi, ada dua persamaan garis singgung yang memenuhi:
$y = -x + 5 + 5	ext{akar}(2)$
$y = -x + 5 - 5	ext{akar}(2)$