Tentukan persamaan garis singgung yang melalui titik (9,1)

Persamaan garis singgungnya adalah $4x + 5y = 41$ dan $25x + 1456y = 1681$.

Pembahasan

Misalkan persamaan lingkaran adalah $x^2 + y^2 = r^2$. Dalam kasus ini, $r^2 = 41$. Misalkan titik singgung pada lingkaran adalah $(x_1, y_1)$. Persamaan garis singgung pada lingkaran $x^2 + y^2 = r^2$ di titik $(x_1, y_1)$ adalah $x x_1 + y y_1 = r^2$.

Karena titik singgung $(x_1, y_1)$ berada pada lingkaran, maka berlaku $x_1^2 + y_1^2 = 41$. 

Kita juga diberikan bahwa garis singgung melalui titik (9, 1). Jadi, titik (9, 1) memenuhi persamaan garis singgung: $9x_1 + 1y_1 = 41$. Dari sini, kita dapat menyatakan $y_1 = 41 - 9x_1$.

Substitusikan nilai $y_1$ ke dalam persamaan lingkaran:
$x_1^2 + (41 - 9x_1)^2 = 41$
$x_1^2 + (1681 - 738x_1 + 81x_1^2) = 41$
$82x_1^2 - 738x_1 + 1681 - 41 = 0$
$82x_1^2 - 738x_1 + 1640 = 0$
Bagi kedua sisi dengan 2:
$41x_1^2 - 369x_1 + 820 = 0$

Kita dapat menggunakan rumus kuadrat untuk mencari nilai $x_1$: $x_1 = [-b ± \\sqrt{b^2 - 4ac}] / 2a$. Di sini, a=41, b=-369, c=820.
$x_1 = [369 ± \\sqrt{(-369)^2 - 4(41)(820)}] / (2 * 41)$
$x_1 = [369 ± \\sqrt{136161 - 134520}] / 82$
$x_1 = [369 ± \\sqrt{1641}] / 82$
$x_1 = [369 ± 40.506] / 82$

Maka, kita punya dua kemungkinan nilai $x_1$:
$x_{1,1} = (369 + 40.506) / 82 = 409.506 / 82 ≈ 4.994$
$x_{1,2} = (369 - 40.506) / 82 = 328.494 / 82 ≈ 4.006$

Sekarang kita cari nilai $y_1$ yang bersesuaian menggunakan $y_1 = 41 - 9x_1$:
Untuk $x_{1,1} ≈ 4.994$: $y_{1,1} = 41 - 9(4.994) = 41 - 44.946 = -3.946$
Untuk $x_{1,2} ≈ 4.006$: $y_{1,2} = 41 - 9(4.006) = 41 - 36.054 = 4.946$

Jadi, titik-titik singgungnya adalah sekitar (4.994, -3.946) dan (4.006, 4.946).

Sekarang kita substitusikan titik-titik singgung ini ke dalam persamaan garis singgung $x x_1 + y y_1 = 41$:

Untuk titik (4.994, -3.946):
$x(4.994) + y(-3.946) = 41$
$4.994x - 3.946y = 41$

Untuk titik (4.006, 4.946):
$x(4.006) + y(4.946) = 41$
$4.006x + 4.946y = 41$

Jika kita ingin jawaban yang lebih tepat tanpa pembulatan, kita bisa menyelesaikannya dengan memfaktorkan persamaan kuadrat $41x_1^2 - 369x_1 + 820 = 0$. Namun, prosesnya akan sangat panjang. Dengan menggunakan kalkulator, akar-akarnya adalah $x_1 = 4$ dan $x_1 = 820/41 = 20$. Mari kita cek kembali.

Periksa kembali perhitungan:
$82x_1^2 - 738x_1 + 1640 = 0$
$41x_1^2 - 369x_1 + 820 = 0$

Mari kita uji jika $x_1=4$ adalah akar:
$41(4^2) - 369(4) + 820 = 41(16) - 1476 + 820 = 656 - 1476 + 820 = 1476 - 1476 = 0$. Ya, $x_1=4$ adalah akar.

Untuk $x_1=4$, $y_1 = 41 - 9(4) = 41 - 36 = 5$. Titik singgungnya adalah (4, 5).
Persamaan garis singgung: $4x + 5y = 41$.

Untuk mencari akar $x_1$ yang lain, kita bisa membagi $41x_1^2 - 369x_1 + 820$ dengan $(x_1 - 4)$.
Menggunakan pembagian polinomial:
$(41x_1^2 - 369x_1 + 820) / (x_1 - 4) = 41x_1 - 25 
        -100\n        41x_1 - 25
      ____________
41x_1^2 - 164x_1
      ____________
            -205x_1 + 820
            -205x_1 + 820
            ____________
                       0

Jadi, $41x_1 - 25 = 0$, yang berarti $x_1 = 25/41$.

Untuk $x_1 = 25/41$, $y_1 = 41 - 9(25/41) = 41 - 225/41 = (1681 - 225) / 41 = 1456 / 41$.
Titik singgungnya adalah $(25/41, 1456/41)$.

Persamaan garis singgung: $x(25/41) + y(1456/41) = 41$
$25x + 1456y = 41 * 41$
$25x + 1456y = 1681$

Periksa kembali apakah titik (9,1) terletak pada kedua garis singgung ini:
Untuk $4x + 5y = 41$: $4(9) + 5(1) = 36 + 5 = 41$. Benar.
Untuk $25x + 1456y = 1681$: $25(9) + 1456(1) = 225 + 1456 = 1681$. Benar.

Jadi, persamaan garis singgung yang melalui titik (9,1) di luar lingkaran $x^2+y^2=41$ adalah $4x + 5y = 41$ dan $25x + 1456y = 1681$.