Tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 2

Persamaan kuadrat baru adalah 3x^2 - 16x + 22 = 0.

Pembahasan

Misalkan akar-akar persamaan 3x^2 - 4x + 2 = 0 adalah \(\alpha\) dan \(\beta\). Berdasarkan teorema Vieta, kita memiliki:\n\n*   Jumlah akar: \(\alpha + \beta = -\frac{-4}{3} = \frac{4}{3}\)\n*   Hasil kali akar: \(\alpha \beta = \frac{2}{3}\)

Kita ingin mencari persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya adalah \(\alpha+2\) dan \(\beta+2\). Misalkan akar-akar baru ini adalah \(\alpha'\) dan \(\beta'\). Maka:

*   Jumlah akar baru: \(\alpha' + \beta' = (\alpha+2) + (\beta+2) = (\alpha+\beta) + 4 = \frac{4}{3} + 4 = \frac{4}{3} + \frac{12}{3} = \frac{16}{3}\)
*   Hasil kali akar baru: \(\alpha' \beta' = (\alpha+2)(\beta+2) = \alpha\beta + 2\alpha + 2\beta + 4 = \alpha\beta + 2(\alpha+\beta) + 4 = \frac{2}{3} + 2(\frac{4}{3}) + 4 = \frac{2}{3} + \frac{8}{3} + 4 = \frac{10}{3} + 4 = \frac{10}{3} + \frac{12}{3} = \frac{22}{3}\)

Persamaan kuadrat baru dapat dibentuk dengan rumus: \(x^2 - (\alpha' + \beta')x + \alpha' \beta' = 0\).

Mengganti nilai jumlah dan hasil kali akar baru yang telah dihitung:

\(x^2 - (\frac{16}{3})x + \frac{22}{3} = 0\)

Untuk menghilangkan pecahan, kalikan seluruh persamaan dengan 3:

\(3x^2 - 16x + 22 = 0\)

Jadi, persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 2 lebihnya dari akar-akar persamaan 3x^2 - 4x + 2 = 0 adalah 3x^2 - 16x + 22 = 0.