Tentukan persamaan lingkaran jika salah satu ujung-ujung

$(x - 1)^2 + (y + \frac{1}{2})^2 = \frac{5}{4}$

Pembahasan

Untuk menentukan persamaan lingkaran jika diketahui salah satu ujung-ujung diameternya, kita perlu mencari titik pusat lingkaran dan panjang jari-jarinya.

Diketahui ujung-ujung diameter adalah $A=(0,0)$ dan $B=(2,-1)$.

1.  **Mencari Titik Pusat Lingkaran:**
    Titik pusat lingkaran adalah titik tengah dari diameter. Rumus titik tengah $(x_m, y_m)$ dari dua titik $(x_1, y_1)$ dan $(x_2, y_2)$ adalah:
    $x_m = \frac{x_1 + x_2}{2}$
    $y_m = \frac{y_1 + y_2}{2}$
    Dengan $(x_1, y_1) = (0,0)$ dan $(x_2, y_2) = (2,-1)$, maka:
    $x_m = \frac{0 + 2}{2} = \frac{2}{2} = 1$
    $y_m = \frac{0 + (-1)}{2} = \frac{-1}{2}$
    Jadi, titik pusat lingkaran adalah $(1, -\frac{1}{2})$.

2.  **Mencari Panjang Jari-jari Lingkaran:**
    Panjang jari-jari adalah setengah dari panjang diameter. Pertama, kita hitung panjang diameter menggunakan rumus jarak antara dua titik:
    Jarak $= \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$
    Diameter $= \sqrt{(2-0)^2 + (-1-0)^2}$
    Diameter $= \sqrt{(2)^2 + (-1)^2}$
    Diameter $= \sqrt{4 + 1}$
    Diameter $= \sqrt{5}$
    
    Panjang jari-jari ($r$) adalah setengah dari diameter:
    $r = \frac{\text{Diameter}}{2} = \frac{\sqrt{5}}{2}$

3.  **Menentukan Persamaan Lingkaran:**
    Bentuk umum persamaan lingkaran dengan pusat $(h,k)$ dan jari-jari $r$ adalah $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$.
    Dengan pusat $(h,k) = (1, -\frac{1}{2})$ dan $r = \frac{\sqrt{5}}{2}$, maka $r^2 = (\frac{\sqrt{5}}{2})^2 = \frac{5}{4}$.
    Persamaan lingkarannya adalah:
    $(x - 1)^2 + (y - (-\frac{1}{2}))^2 = \frac{5}{4}$
    $(x - 1)^2 + (y + \frac{1}{2})^2 = \frac{5}{4}$

Jadi, persamaan lingkaran tersebut adalah $(x - 1)^2 + (y + \frac{1}{2})^2 = \frac{5}{4}$.