Command Palette

Search for a command to run...

Kelas 11Kelas 12mathGeometri Analitik Ruang

Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik (-4,2) dan

Pertanyaan

Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik (-4,2) dan (-3,-1) serta berpusat pada garis 3x-y=1. Apakah lingkaran itu bersinggungan dengan lingkaran x^2+y^2-2x+4y+4=0 ?

Solusi

Verified

Persamaan lingkaran: (x-1)^2 + (y-2)^2 = 25. Kedua lingkaran bersinggungan di dalam.

Pembahasan

Untuk menentukan persamaan lingkaran yang melalui titik (-4, 2) dan (-3, -1) serta berpusat pada garis 3x - y = 1, kita dapat menggunakan bentuk umum persamaan lingkaran (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2, di mana (a, b) adalah pusat lingkaran dan r adalah jari-jari. Karena pusat lingkaran terletak pada garis 3x - y = 1, maka berlaku 3a - b = 1, atau b = 3a - 1. Karena lingkaran melalui titik (-4, 2) dan (-3, -1), maka jarak dari pusat (a, b) ke kedua titik tersebut adalah sama (yaitu jari-jari r). Jarak kuadrat dari (a, b) ke (-4, 2) adalah: (a - (-4))^2 + (b - 2)^2 = (a + 4)^2 + (b - 2)^2 Jarak kuadrat dari (a, b) ke (-3, -1) adalah: (a - (-3))^2 + (b - (-1))^2 = (a + 3)^2 + (b + 1)^2 Karena kedua jarak kuadrat sama: (a + 4)^2 + (b - 2)^2 = (a + 3)^2 + (b + 1)^2 a^2 + 8a + 16 + b^2 - 4b + 4 = a^2 + 6a + 9 + b^2 + 2b + 1 8a + 16 - 4b + 4 = 6a + 9 + 2b + 1 8a - 4b + 20 = 6a + 2b + 10 2a - 6b + 10 = 0 a - 3b + 5 = 0 Kita punya sistem persamaan: 1) b = 3a - 1 2) a - 3b + 5 = 0 Substitusikan (1) ke (2): a - 3(3a - 1) + 5 = 0 a - 9a + 3 + 5 = 0 -8a + 8 = 0 -8a = -8 a = 1 Substitusikan a = 1 ke (1): b = 3(1) - 1 b = 3 - 1 b = 2 Jadi, pusat lingkaran adalah (a, b) = (1, 2). Sekarang kita hitung jari-jari kuadrat (r^2) menggunakan salah satu titik, misalnya (-4, 2): r^2 = (a + 4)^2 + (b - 2)^2 r^2 = (1 + 4)^2 + (2 - 2)^2 r^2 = (5)^2 + (0)^2 r^2 = 25 Persamaan lingkaran adalah (x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 25. Selanjutnya, kita periksa apakah lingkaran ini bersinggungan dengan lingkaran x^2 + y^2 - 2x + 4y + 4 = 0. Lingkaran kedua memiliki pusat P2 dan jari-jari r2. Bentuk umum x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0, pusat (-A/2, -B/2), r = sqrt((-A/2)^2 + (-B/2)^2 - C). Untuk lingkaran kedua: A = -2, B = 4, C = 4. Pusat P2 = (-(-2)/2, -(4)/2) = (1, -2). Jari-jari r2 = sqrt((1)^2 + (-2)^2 - 4) = sqrt(1 + 4 - 4) = sqrt(1) = 1. Lingkaran pertama memiliki pusat P1 = (1, 2) dan jari-jari r1 = sqrt(25) = 5. Lingkaran kedua memiliki pusat P2 = (1, -2) dan jari-jari r2 = 1. Untuk memeriksa apakah kedua lingkaran bersinggungan, kita hitung jarak antara kedua pusat (d). Jarak P1P2 = sqrt((1 - 1)^2 + (2 - (-2))^2) d = sqrt((0)^2 + (4)^2) d = sqrt(0 + 16) d = sqrt(16) d = 4. Sekarang bandingkan jarak antara pusat (d) dengan jumlah atau selisih jari-jari (r1 + r2 atau |r1 - r2|). Jumlah jari-jari: r1 + r2 = 5 + 1 = 6. Selisih jari-jari: |r1 - r2| = |5 - 1| = 4. Karena jarak antara kedua pusat (d = 4) sama dengan selisih jari-jari (|r1 - r2| = 4), maka kedua lingkaran tersebut bersinggungan di dalam (bersinggungan dalam).

Buka akses pembahasan jawaban

Topik: Lingkaran
Section: Persamaan Lingkaran, Kedudukan Dua Lingkaran

Apakah jawaban ini membantu?
Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik (-4,2) dan - Saluranedukasi