Tentukan rumus umum suku ke-n dari pola bilangan berikut.a.

a. Un = 5n - 2 (dengan asumsi suku ke-5 seharusnya 23), b. Un = 2^n

Pembahasan

a. Pola bilangan: 3, 8, 13, 18, 33, ...
Kita perhatikan selisih antara suku-suku yang berurutan:
8 - 3 = 5
13 - 8 = 5
18 - 13 = 5
18 - 13 = 5

Terlihat bahwa selisih antara suku-suku yang berurutan adalah konstan, yaitu 5. Ini menunjukkan bahwa pola bilangan ini adalah barisan aritmetika.
Rumus umum suku ke-n untuk barisan aritmetika adalah:
Un = a + (n-1)b
Di mana:
Un = suku ke-n
a = suku pertama
b = beda (selisih antar suku)
n = nomor suku

Dalam pola ini:
a = 3
b = 5

Maka, rumus umum suku ke-n adalah:
Un = 3 + (n-1)5
Un = 3 + 5n - 5
Un = 5n - 2

Mari kita cek:
Untuk n=1: U1 = 5(1) - 2 = 3
Untuk n=2: U2 = 5(2) - 2 = 10 - 2 = 8
Untuk n=3: U3 = 5(3) - 2 = 15 - 2 = 13
Untuk n=4: U4 = 5(4) - 2 = 20 - 2 = 18
Untuk n=5: U5 = 5(5) - 2 = 25 - 2 = 23. (Terdapat perbedaan dengan suku ke-5 yang diberikan yaitu 33, kemungkinan ada kesalahan penulisan pada soal untuk suku ke-5). Jika suku ke-5 seharusnya 23, maka rumusnya adalah Un = 5n - 2.

b. Pola bilangan: 2, 4, 8, 16, 32, ...
Kita perhatikan rasio antara suku-suku yang berurutan:
4 / 2 = 2
8 / 4 = 2
16 / 8 = 2
32 / 16 = 2

Terlihat bahwa rasio antara suku-suku yang berurutan adalah konstan, yaitu 2. Ini menunjukkan bahwa pola bilangan ini adalah barisan geometri.
Rumus umum suku ke-n untuk barisan geometri adalah:
Un = a * r^(n-1)
Di mana:
Un = suku ke-n
a = suku pertama
r = rasio
n = nomor suku

Dalam pola ini:
a = 2
r = 2

Maka, rumus umum suku ke-n adalah:
Un = 2 * 2^(n-1)
Un = 2¹ * 2^(n-1)
Un = 2^(1 + n - 1)
Un = 2^n

Mari kita cek:
Untuk n=1: U1 = 2¹ = 2
Untuk n=2: U2 = 2² = 4
Untuk n=3: U3 = 2³ = 8
Untuk n=4: U4 = 2⁴ = 16
Untuk n=5: U5 = 2⁵ = 32

Rumus umum suku ke-n untuk pola b adalah 2^n.