Tentukan semua nilai x positif yang memenuhi persamaan

Nilai x positif yang memenuhi adalah 1 dan 3.

Pembahasan

Persamaan yang diberikan adalah (x^2-x-5)^(x^2-1)=1. Agar persamaan eksponensial bernilai 1, ada tiga kemungkinan:
1. Basisnya sama dengan 1: x^2-x-5 = 1
   x^2-x-6 = 0
   (x-3)(x+2) = 0
   x=3 atau x=-2
2. Pangkatnya sama dengan 0, dengan syarat basisnya tidak sama dengan 0: x^2-1 = 0
   x^2 = 1
   x = 1 atau x = -1
   Jika x=1, basis = 1^2-1-5 = -5 (tidak sama dengan 0)
   Jika x=-1, basis = (-1)^2-(-1)-5 = 1+1-5 = -3 (tidak sama dengan 0)
3. Basisnya sama dengan -1, dengan syarat pangkatnya bilangan genap: x^2-x-5 = -1
   x^2-x-4 = 0
   Menggunakan rumus kuadratik, x = (1 ± sqrt(1 - 4(1)(-4)))/2 = (1 ± sqrt(17))/2
   Kita perlu memeriksa apakah pangkat (x^2-1) genap untuk nilai x ini.
   Jika x = (1+sqrt(17))/2, maka x^2 = ((1+sqrt(17))/2)^2 = (1 + 2sqrt(17) + 17)/4 = (18 + 2sqrt(17))/4 = (9 + sqrt(17))/2
   x^2-1 = (9 + sqrt(17))/2 - 1 = (7 + sqrt(17))/2 (bukan bilangan genap)
   Jika x = (1-sqrt(17))/2, maka x^2 = ((1-sqrt(17))/2)^2 = (1 - 2sqrt(17) + 17)/4 = (18 - 2sqrt(17))/4 = (9 - sqrt(17))/2
   x^2-1 = (9 - sqrt(17))/2 - 1 = (7 - sqrt(17))/2 (bukan bilangan genap)

Karena soal meminta nilai x positif, maka nilai x yang memenuhi adalah 1 dan 3.