Tentukan semua pasangan bilangan real (x, y) yang memenuhi

Pasangan solusinya adalah ((1+sqrt(5))/2, (sqrt(5)-1)/2), (-(1+sqrt(5))/2, -(sqrt(5)-1)/2), ((sqrt(5)-1)/2, (1+sqrt(5))/2), dan (-(sqrt(5)-1)/2, -(1+sqrt(5))/2).

Pembahasan

Kita diberikan dua persamaan:
1) x³ - y³ = 4(x - y)
2) x³ + y³ = 2(x + y)

Dari persamaan (1):
(x - y)(x² + xy + y²) = 4(x - y)
Jika x ≠ y, kita dapat membagi kedua sisi dengan (x - y):
x² + xy + y² = 4  (Persamaan 3)
Jika x = y, maka x³ - x³ = 4(x - x) yang menghasilkan 0 = 0. Jadi, x = y adalah solusi yang mungkin jika juga memenuhi persamaan kedua.

Dari persamaan (2):
(x + y)(x² - xy + y²) = 2(x + y)
Jika x ≠ -y, kita dapat membagi kedua sisi dengan (x + y):
x² - xy + y² = 2  (Persamaan 4)
Jika x = -y, maka x³ + (-x)³ = 2(x + (-x)) yang menghasilkan 0 = 0. Jadi, x = -y adalah solusi yang mungkin jika juga memenuhi persamaan pertama.

Sekarang kita punya sistem persamaan (3) dan (4):
x² + xy + y² = 4
x² - xy + y² = 2

Kurangkan Persamaan (4) dari Persamaan (3):
(x² + xy + y²) - (x² - xy + y²) = 4 - 2
2xy = 2
xy = 1

Tambahkan Persamaan (3) dan Persamaan (4):
(x² + xy + y²) + (x² - xy + y²) = 4 + 2
2x² + 2y² = 6
x² + y² = 3

Sekarang kita punya sistem:
xy = 1  => y = 1/x
x² + y² = 3

Substitusikan y = 1/x ke dalam persamaan kedua:
x² + (1/x)² = 3
x² + 1/x² = 3
Mengalikan dengan x²:
x⁴ + 1 = 3x²
x⁴ - 3x² + 1 = 0

Ini adalah persamaan kuadrat dalam bentuk x². Misalkan u = x²:
u² - 3u + 1 = 0
Menggunakan rumus kuadrat untuk u:
u = [-b ± sqrt(b² - 4ac)] / 2a
u = [3 ± sqrt((-3)² - 4*1*1)] / 2*1
u = [3 ± sqrt(9 - 4)] / 2
u = [3 ± sqrt(5)] / 2

Jadi, x² = (3 + sqrt(5)) / 2 atau x² = (3 - sqrt(5)) / 2.

Kasus 1: x² = (3 + sqrt(5)) / 2
x = ± sqrt((3 + sqrt(5)) / 2)
Kita bisa menyederhanakan ini menjadi x = ± (1 + sqrt(5)) / 2.
Jika x = (1 + sqrt(5)) / 2, maka y = 1/x = (sqrt(5) - 1) / 2.
Jika x = -(1 + sqrt(5)) / 2, maka y = 1/x = -(sqrt(5) - 1) / 2.

Kasus 2: x² = (3 - sqrt(5)) / 2
x = ± sqrt((3 - sqrt(5)) / 2)
Kita bisa menyederhanakan ini menjadi x = ± (sqrt(5) - 1) / 2.
Jika x = (sqrt(5) - 1) / 2, maka y = 1/x = (1 + sqrt(5)) / 2.
Jika x = -(sqrt(5) - 1) / 2, maka y = 1/x = -(1 + sqrt(5)) / 2.

Sekarang periksa kasus khusus:
Jika x = y:
Maka xy = 1 berarti x² = 1, sehingga x = ±1.
Jika x = 1, y = 1. Persamaan 1: 1³-1³ = 4(1-1) => 0=0. Persamaan 2: 1³+1³ = 2(1+1) => 2=4 (Salah).
Jika x = -1, y = -1. Persamaan 1: (-1)³-(-1)³ = 4(-1-(-1)) => 0=0. Persamaan 2: (-1)³+(-1)³ = 2(-1+(-1)) => -2 = -4 (Salah).
Jadi, x ≠ y.

Jika x = -y:
Maka xy = 1 berarti -y² = 1, yang tidak mungkin untuk bilangan real y.
Jadi, x ≠ -y.

Jadi, semua pasangan solusi adalah:
( (1 + sqrt(5)) / 2 , (sqrt(5) - 1) / 2 )
( -(1 + sqrt(5)) / 2 , -(sqrt(5) - 1) / 2 )
( (sqrt(5) - 1) / 2 , (1 + sqrt(5)) / 2 )
( -(sqrt(5) - 1) / 2 , -(1 + sqrt(5)) / 2 )