Tentukan titik stasioner dan jenis-jenisnya dari

Untuk f(x)=sin 3x, maks lokal di 30°, 150°, 270°; min lokal di 90°, 210°, 330°. Untuk f(x)=2 cos² 2x, min lokal di 45°, 135°, 225°, 315°; maks lokal di 90°, 180°, 270°.

Pembahasan

Untuk menentukan titik stasioner dan jenisnya menggunakan uji turunan pertama, kita perlu mencari turunan pertama dari fungsi, menyamakannya dengan nol untuk menemukan nilai x kritis, lalu menguji tanda turunan pertama di sekitar nilai kritis tersebut.

a. f(x) = sin 3x
Turunan pertama: f'(x) = 3 cos 3x
Untuk mencari titik stasioner, kita atur f'(x) = 0:
3 cos 3x = 0
cos 3x = 0
Nilai 3x yang memenuhi cos 3x = 0 dalam interval 0° ≤ x ≤ 360° (atau 0° ≤ 3x ≤ 1080°) adalah:
3x = 90°, 270°, 450°, 630°, 810°, 990°
Maka, x = 30°, 90°, 150°, 210°, 270°, 330°

Sekarang kita uji tanda f'(x) = 3 cos 3x di sekitar nilai-nilai kritis:
- Interval (0°, 30°): Ambil x=15°, f'(15°) = 3 cos(45°) > 0 (naik)
- Interval (30°, 90°): Ambil x=60°, f'(60°) = 3 cos(180°) < 0 (turun)
Di x=30°, terjadi maksimum lokal.

- Interval (90°, 150°): Ambil x=120°, f'(120°) = 3 cos(360°) > 0 (naik)
Di x=90°, terjadi minimum lokal.

- Interval (150°, 210°): Ambil x=180°, f'(180°) = 3 cos(540°) < 0 (turun)
Di x=150°, terjadi maksimum lokal.

- Interval (210°, 270°): Ambil x=240°, f'(240°) = 3 cos(720°) > 0 (naik)
Di x=210°, terjadi minimum lokal.

- Interval (270°, 330°): Ambil x=300°, f'(300°) = 3 cos(900°) < 0 (turun)
Di x=270°, terjadi maksimum lokal.

- Interval (330°, 360°): Ambil x=345°, f'(345°) = 3 cos(1035°) > 0 (naik)
Di x=330°, terjadi minimum lokal.

Titik Stasioner dan Jenisnya untuk f(x) = sin 3x:
- Maksimum lokal di x = 30°, 150°, 270°
- Minimum lokal di x = 90°, 210°, 330°

b. f(x) = 2 cos² 2x
Kita bisa gunakan identitas cos(2θ) = 2 cos² θ - 1, sehingga 2 cos² θ = 1 + cos(2θ).
Maka, f(x) = 1 + cos(4x).
Turunan pertama: f'(x) = -4 sin(4x)
Untuk mencari titik stasioner, kita atur f'(x) = 0:
-4 sin(4x) = 0
sin(4x) = 0
Nilai 4x yang memenuhi sin(4x) = 0 dalam interval 0° ≤ x ≤ 360° (atau 0° ≤ 4x ≤ 1440°) adalah:
4x = 0°, 180°, 360°, 540°, 720°, 900°, 1080°, 1260°, 1440°
Maka, x = 0°, 45°, 90°, 135°, 180°, 225°, 270°, 315°, 360°

Sekarang kita uji tanda f'(x) = -4 sin(4x) di sekitar nilai-nilai kritis:
- Interval (0°, 45°): Ambil x=22.5°, f'(22.5°) = -4 sin(90°) < 0 (turun)
- Interval (45°, 90°): Ambil x=67.5°, f'(67.5°) = -4 sin(270°) > 0 (naik)
Di x=45°, terjadi minimum lokal.

- Interval (90°, 135°): Ambil x=112.5°, f'(112.5°) = -4 sin(450°) < 0 (turun)
Di x=90°, terjadi maksimum lokal.

- Interval (135°, 180°): Ambil x=157.5°, f'(157.5°) = -4 sin(630°) > 0 (naik)
Di x=135°, terjadi minimum lokal.

- Interval (180°, 225°): Ambil x=202.5°, f'(202.5°) = -4 sin(810°) < 0 (turun)
Di x=180°, terjadi maksimum lokal.

- Interval (225°, 270°): Ambil x=247.5°, f'(247.5°) = -4 sin(990°) > 0 (naik)
Di x=225°, terjadi minimum lokal.

- Interval (270°, 315°): Ambil x=292.5°, f'(292.5°) = -4 sin(1170°) < 0 (turun)
Di x=270°, terjadi maksimum lokal.

- Interval (315°, 360°): Ambil x=337.5°, f'(337.5°) = -4 sin(1350°) > 0 (naik)
Di x=315°, terjadi minimum lokal.

Untuk x=0° dan x=360° karena merupakan batas interval, kita perlu melihat perilaku fungsi di sekitarnya. Karena f'(x) berubah dari negatif ke positif di x=0 (mengikuti pola di interval pertama jika diperluas ke kiri) dan dari positif ke negatif di x=360 (mengikuti pola di interval terakhir jika diperluas ke kanan), kita bisa menganggapnya sebagai titik ekstrem jika domainnya tidak dibatasi.
Namun, dalam konteks ini, kita fokus pada perubahan di dalam interval.

Titik Stasioner dan Jenisnya untuk f(x) = 2 cos² 2x:
- Minimum lokal di x = 45°, 135°, 225°, 315°
- Maksimum lokal di x = 90°, 180°, 270°
(Catatan: Titik x=0° dan x=360° adalah batas interval. Perlu diperiksa nilai fungsi di batas ini dibandingkan dengan nilai di titik stasioner terdekat untuk menentukan nilai mutlak jika diminta).

Jawaban Ringkas: Untuk f(x)=sin 3x, maks lokal di 30°, 150°, 270°; min lokal di 90°, 210°, 330°. Untuk f(x)=2 cos² 2x, min lokal di 45°, 135°, 225°, 315°; maks lokal di 90°, 180°, 270°.