Tentukan turunan dari setiap fungsi berikut.a. y=x^2

a. (5/2)x^(3/2) - x^(-1/2) b. -3x^(-4) + 5x^(-6) - (45/4)x^(11/4)

Pembahasan

Untuk menentukan turunan dari fungsi yang diberikan:

a. y = x^2 akar(x) - 2 akar(x) + 5
Kita bisa menulis ulang akar(x) sebagai x^(1/2).
Jadi, y = x^2 * x^(1/2) - 2 * x^(1/2) + 5
Menggunakan sifat eksponen (a^m * a^n = a^(m+n)), kita dapatkan:
y = x^(2 + 1/2) - 2x^(1/2) + 5
y = x^(5/2) - 2x^(1/2) + 5

Sekarang, kita gunakan aturan turunan d/dx (x^n) = nx^(n-1) dan turunan konstanta adalah 0.
Turunan dari x^(5/2) adalah (5/2)x^((5/2)-1) = (5/2)x^(3/2).
Turunan dari -2x^(1/2) adalah -2 * (1/2)x^((1/2)-1) = -1x^(-1/2) = -1/akar(x).
Turunan dari 5 adalah 0.

Maka, dy/dx = (5/2)x^(3/2) - 1/akar(x).
Atau dalam bentuk akar: dy/dx = (5/2)x akar(x) - 1/akar(x).

b. y = 1/x^3 - 1/x^5 - 3x^2 akar(x^3 akar(x))
Pertama, sederhanakan bagian akar: akar(x^3 akar(x)) = akar(x^3 * x^(1/2)) = akar(x^(3 + 1/2)) = akar(x^(7/2)) = (x^(7/2))^(1/2) = x^(7/4).

Maka, y = x^(-3) - x^(-5) - 3x^2 * x^(7/4)
y = x^(-3) - x^(-5) - 3x^(2 + 7/4)
y = x^(-3) - x^(-5) - 3x^(8/4 + 7/4)
y = x^(-3) - x^(-5) - 3x^(15/4)

Sekarang, turunkan setiap suku:
Turunan dari x^(-3) adalah -3x^(-3-1) = -3x^(-4).
Turunan dari -x^(-5) adalah -(-5)x^(-5-1) = 5x^(-6).
Turunan dari -3x^(15/4) adalah -3 * (15/4)x^((15/4)-1) = -(45/4)x^(11/4).

Maka, dy/dx = -3x^(-4) + 5x^(-6) - (45/4)x^(11/4).
Dalam bentuk pecahan positif dan akar: dy/dx = -3/x^4 + 5/x^6 - (45/4) x^2 akar(x^3).

Jawaban Ringkas: a. (5/2)x^(3/2) - x^(-1/2) b. -3x^(-4) + 5x^(-6) - (45/4)x^(11/4)