Tentukan turunan pertama dari fungsi berikut: f(x)=x sin

Turunan pertama dari f(x)=x sin x/(x^2-1) adalah [(x³ - x) cos x - (x² + 1) sin x] / (x² - 1)².

Pembahasan

Untuk menentukan turunan pertama dari fungsi f(x) = (x sin x) / (x² - 1), kita akan menggunakan aturan kuosien. Aturan kuosien menyatakan bahwa jika h(x) = u(x) / v(x), maka h'(x) = [u'(x)v(x) - u(x)v'(x)] / [v(x)]².

Dalam kasus ini:
u(x) = x sin x
v(x) = x² - 1

Kita perlu mencari turunan dari u(x) dan v(x):
Untuk u(x) = x sin x, kita gunakan aturan perkalian: (fg)' = f'g + fg'.
Misal f(x) = x dan g(x) = sin x.
Maka, f'(x) = 1 dan g'(x) = cos x.
Jadi, u'(x) = (1)(sin x) + (x)(cos x) = sin x + x cos x.

Untuk v(x) = x² - 1, turunannya adalah:
v'(x) = 2x.

Sekarang kita masukkan ke dalam rumus aturan kuosien:
f'(x) = [(sin x + x cos x)(x² - 1) - (x sin x)(2x)] / (x² - 1)²
f'(x) = [x² sin x - sin x + x³ cos x - x cos x - 2x² sin x] / (x² - 1)²
f'(x) = [x³ cos x - x cos x - x² sin x - sin x] / (x² - 1)²
f'(x) = [(x³ - x) cos x - (x² + 1) sin x] / (x² - 1)²