Tentukan turunan pertama-fungsi berikut. h(x)=cos^2 x/sin x

h'(x) = -cos(x)(1 + csc^2(x))

Pembahasan

Untuk menentukan turunan pertama dari fungsi h(x) = cos^2(x) / sin(x), kita dapat menggunakan aturan kuosien dan aturan rantai.

Aturan Kuosien menyatakan bahwa jika h(x) = f(x) / g(x), maka h'(x) = [f'(x)g(x) - f(x)g'(x)] / [g(x)]^2.

Dalam kasus ini:
f(x) = cos^2(x)
g(x) = sin(x)

Kita perlu mencari turunan dari f(x) dan g(x).

Turunan dari g(x) = sin(x) adalah g'(x) = cos(x).

Untuk f(x) = cos^2(x), kita gunakan aturan rantai. Misalkan u = cos(x), maka f(x) = u^2. Turunan dari f terhadap u adalah df/du = 2u, dan turunan dari u terhadap x adalah du/dx = -sin(x).

Menggunakan aturan rantai, f'(x) = (df/du) * (du/dx) = 2u * (-sin(x)) = 2(cos(x)) * (-sin(x)) = -2sin(x)cos(x).

Sekarang kita masukkan f(x), g(x), f'(x), dan g'(x) ke dalam aturan kuosien:
h'(x) = [(-2sin(x)cos(x))(sin(x)) - (cos^2(x))(cos(x))] / (sin(x))^2
h'(x) = [-2sin^2(x)cos(x) - cos^3(x)] / sin^2(x)

Kita bisa memfaktorkan -cos(x) dari pembilang:
h'(x) = -cos(x) [2sin^2(x) + cos^2(x)] / sin^2(x)

Menggunakan identitas trigonometri sin^2(x) + cos^2(x) = 1, kita bisa mengganti cos^2(x) dengan (1 - sin^2(x)):
h'(x) = -cos(x) [2sin^2(x) + (1 - sin^2(x))] / sin^2(x)
h'(x) = -cos(x) [sin^2(x) + 1] / sin^2(x)

Kita juga bisa menulis ulang ini sebagai:
h'(x) = -cos(x) [1 + sin^2(x)] / sin^2(x)
h'(x) = -cos(x) [1/sin^2(x) + sin^2(x)/sin^2(x)]
h'(x) = -cos(x) [csc^2(x) + 1]

Atau, membagi setiap suku dalam kurung dengan sin^2(x):
h'(x) = -cos(x) * (2sin^2(x)/sin^2(x) + cos^2(x)/sin^2(x))
h'(x) = -cos(x) * (2 + cot^2(x))

Dengan menggunakan identitas cot^2(x) = csc^2(x) - 1, kita dapatkan:
h'(x) = -cos(x) * (2 + csc^2(x) - 1)
h'(x) = -cos(x) * (1 + csc^2(x))

Alternatif lain, kita bisa memisahkan fungsi h(x) terlebih dahulu:
h(x) = cos^2(x) / sin(x) = cos(x) * (cos(x) / sin(x)) = cos(x) cot(x)

Menggunakan aturan perkalian (uv)' = u'v + uv':
Misalkan u = cos(x) => u' = -sin(x)
Misalkan v = cot(x) => v' = -csc^2(x)

h'(x) = (-sin(x))(cot(x)) + (cos(x))(-csc^2(x))
h'(x) = -sin(x) * (cos(x)/sin(x)) - cos(x)csc^2(x)
h'(x) = -cos(x) - cos(x)csc^2(x)
h'(x) = -cos(x) (1 + csc^2(x))

Kedua metode memberikan hasil yang sama.

Jadi, turunan pertama dari h(x) = cos^2(x) / sin(x) adalah -cos(x)(1 + csc^2(x)) atau -cos(x) - cos(x)csc^2(x).