Tentukan turunan pertama fungsi f(x) = 4x^2 + cos 2x - sin

-5

Pembahasan

Untuk menentukan turunan pertama fungsi f(x) = 4x^2 + cos(2x) - sin(5x) menggunakan definisi turunan, kita gunakan rumus: f'(x) = lim (h->0) [f(x+h) - f(x)] / h.

1. Hitung f(x+h):
f(x+h) = 4(x+h)^2 + cos(2(x+h)) - sin(5(x+h))
f(x+h) = 4(x^2 + 2xh + h^2) + cos(2x + 2h) - sin(5x + 5h)
f(x+h) = 4x^2 + 8xh + 4h^2 + cos(2x + 2h) - sin(5x + 5h)

2. Hitung f(x+h) - f(x):
f(x+h) - f(x) = [4x^2 + 8xh + 4h^2 + cos(2x + 2h) - sin(5x + 5h)] - [4x^2 + cos(2x) - sin(5x)]
f(x+h) - f(x) = 8xh + 4h^2 + cos(2x + 2h) - cos(2x) - [sin(5x + 5h) - sin(5x)]

3. Gunakan limit:
f'(x) = lim (h->0) [8xh + 4h^2 + cos(2x + 2h) - cos(2x) - (sin(5x + 5h) - sin(5x))] / h

Kita bisa memisahkan limit ini menjadi beberapa bagian:
lim (h->0) [8xh / h] = 8x
lim (h->0) [4h^2 / h] = lim (h->0) 4h = 0

Untuk bagian trigonometri, kita gunakan identitas limit:
lim (h->0) [cos(A+B) - cos(A)] / h = -sin(A) * dB/dh (di sini A=2x, B=2h, dB/dh = 2)
lim (h->0) [sin(A+B) - sin(A)] / h = cos(A) * dB/dh (di sini A=5x, B=5h, dB/dh = 5)

Maka:
lim (h->0) [cos(2x + 2h) - cos(2x)] / h = -sin(2x) * 2 = -2sin(2x)
lim (h->0) [sin(5x + 5h) - sin(5x)] / h = cos(5x) * 5 = 5cos(5x)

Sehingga:
f'(x) = 8x + 0 - 2sin(2x) - 5cos(5x)
f'(x) = 8x - 2sin(2x) - 5cos(5x)

Sekarang, kita substitusikan x = 0:
f'(0) = 8(0) - 2sin(2*0) - 5cos(5*0)
f'(0) = 0 - 2sin(0) - 5cos(0)
f'(0) = 0 - 2(0) - 5(1)
f'(0) = -5