Tentukan turunan sebagai berikut ini (aturan rantai):

-38,4 - 19,2√3 rad/s

Pembahasan

Diberikan fungsi y = 3tan(4x + π/2). Kita perlu mencari turunan dy/dt menggunakan aturan rantai, jika dx/dt = -0,4 rad/s. 

Langkah 1: Cari turunan y terhadap x (dy/dx).
Turunan dari tan(u) adalah sec^2(u) * du/dx. Di sini, u = 4x + π/2, sehingga du/dx = 4.
Jadi, dy/dx = 3 * sec^2(4x + π/2) * 4 = 12sec^2(4x + π/2).

Langkah 2: Gunakan aturan rantai untuk mencari dy/dt.
Aturan rantai menyatakan bahwa dy/dt = (dy/dx) * (dx/dt).
Kita sudah punya dy/dx = 12sec^2(4x + π/2) dan dx/dt = -0,4 rad/s.
Jadi, dy/dt = (12sec^2(4x + π/2)) * (-0,4).

Langkah 3: Hitung nilai dy/dt ketika x = π/48.
Substitusikan x = π/48 ke dalam ekspresi dy/dt:
dy/dt = 12sec^2(4(π/48) + π/2) * (-0,4)
Dy/dt = 12sec^2(π/12 + π/2) * (-0,4)
Dy/dt = 12sec^2(π/12 + 6π/12) * (-0,4)
Dy/dt = 12sec^2(7π/12) * (-0,4)

Kita tahu bahwa sec(θ) = 1/cos(θ), jadi sec^2(θ) = 1/cos^2(θ).
cos(7π/12) = cos(π/4 + π/3) = cos(π/4)cos(π/3) - sin(π/4)sin(π/3)
= (√2/2)(1/2) - (√2/2)(√3/2) = (√2 - √6)/4

cos^2(7π/12) = ((√2 - √6)/4)^2 = (2 - 2√12 + 6)/16 = (8 - 4√3)/16 = (2 - √3)/4

sec^2(7π/12) = 1 / ((2 - √3)/4) = 4 / (2 - √3)
Untuk merasionalkan penyebutnya, kalikan dengan sekawannya:
sec^2(7π/12) = (4 / (2 - √3)) * ((2 + √3) / (2 + √3)) = 4(2 + √3) / (4 - 3) = 8 + 4√3.

Sekarang substitusikan kembali ke dy/dt:
dy/dt = 12 * (8 + 4√3) * (-0,4)
dy/dt = 12 * (-0,4) * (8 + 4√3)
dy/dt = -4,8 * (8 + 4√3)
dy/dt = -38,4 - 19,2√3.

Jadi, laju perubahan y terhadap waktu ketika x = π/48 adalah -38,4 - 19,2√3 rad/s.