Tentukan unsur-unsur hiperbola dengan persamaan berikut

Pusat: (7, -1), Fokus: (11, -1) dan (3, -1), Puncak: (7 \pm \sqrt{10}, -1), Asimtot: y + 1 = \pm (\sqrt{15}/5)(x - 7).

Pembahasan

Persamaan hiperbola yang diberikan adalah ((x-7)^2/10) - ((y+1)^2/6) = 1.

Dari persamaan ini, kita dapat mengidentifikasi unsur-unsur hiperbola:

1.  **Titik Pusat (h, k):** Dari bentuk standar ((x-h)^2/a^2) - ((y-k)^2/b^2) = 1, kita dapat melihat bahwa h = 7 dan k = -1. Jadi, titik pusatnya adalah (7, -1).

2.  **Nilai a^2 dan b^2:** a^2 = 10 dan b^2 = 6. Maka, a = \sqrt{10} dan b = \sqrt{6}.

3.  **Titik Fokus:** Untuk hiperbola horizontal, fokus berada pada (h \pm c, k). Kita perlu mencari nilai c menggunakan rumus c^2 = a^2 + b^2. 
c^2 = 10 + 6 = 16
c = \sqrt{16} = 4
Jadi, titik fokusnya adalah (7 \pm 4, -1), yaitu (11, -1) dan (3, -1).

4.  **Titik Puncak:** Untuk hiperbola horizontal, puncak berada pada (h \pm a, k). 
Jadi, titik puncaknya adalah (7 \pm \sqrt{10}, -1).

5.  **Persamaan Asimtot:** Persamaan asimtot untuk hiperbola horizontal adalah y - k = \pm (b/a)(x - h).
y - (-1) = \pm (\sqrt{6}/\sqrt{10})(x - 7)
y + 1 = \pm (\sqrt{60}/10)(x - 7)
y + 1 = \pm (2\sqrt{15}/10)(x - 7)
y + 1 = \pm (\sqrt{15}/5)(x - 7)

**Sketsa Grafik:**
Grafik hiperbola akan terbuka ke kiri dan kanan karena suku x^2 positif. Pusatnya berada di (7, -1). Puncak berada di \sqrt{10} unit di sebelah kiri dan kanan pusat. Fokus berada di 4 unit di sebelah kiri dan kanan pusat. Asimtot akan melewati pusat dan mendekati cabang-cabang hiperbola saat menjauh dari pusat.