Tentukanlah batas-batas nilai x dari pertidaksamaan:

Batas nilai x adalah semua bilangan real kecuali -1 ($x \in \mathbb{R}, x \neq -1$).

Pembahasan

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan $\frac{x-1}{x^2+2x+1} \le 2$, kita perlu berhati-hati terhadap penyebut yang mungkin nol atau definit positif.

Penyebutnya adalah $x^2+2x+1 = (x+1)^2$. Penyebut ini akan nol jika $x = -1$. Jadi, $x \neq -1$.
Karena penyebutnya adalah kuadrat, maka $(x+1)^2$ selalu positif untuk $x \neq -1$. Ini berarti kita bisa mengalikan kedua sisi pertidaksamaan dengan $(x+1)^2$ tanpa mengubah arah tanda pertidaksamaan, asalkan $x \neq -1$.

$(x-1) \le 2(x+1)^2$
$x-1 \le 2(x^2 + 2x + 1)$
$x-1 \le 2x^2 + 4x + 2$
$0 \le 2x^2 + 4x - x + 2 + 1$
$0 \le 2x^2 + 3x + 3$

Sekarang kita perlu mencari batas-batas nilai x dari pertidaksamaan kuadrat $2x^2 + 3x + 3 \ge 0$.
Untuk menentukan apakah kuadrat ini selalu positif, negatif, atau memotong sumbu x, kita gunakan diskriminan ($D = b^2 - 4ac$).
Dalam kasus ini, $a=2$, $b=3$, $c=3$.
$D = 3^2 - 4(2)(3)$
$D = 9 - 24$
$D = -15$

Karena diskriminan ($D$) negatif dan koefisien $a$ (yaitu 2) positif, maka grafik fungsi kuadrat $y = 2x^2 + 3x + 3$ selalu berada di atas sumbu x. Ini berarti $2x^2 + 3x + 3$ selalu bernilai positif untuk semua nilai $x$ real.

Oleh karena itu, pertidaksamaan $2x^2 + 3x + 3 \ge 0$ terpenuhi untuk semua bilangan real $x$. Namun, kita harus ingat bahwa $x \neq -1$ dari syarat penyebut.

Jadi, batas-batas nilai x dari pertidaksamaan tersebut adalah semua bilangan real kecuali -1.