Tentukanlah himpunan penyelesaian dari persamaan cos 2x =

Himpunan penyelesaiannya adalah {0°, 120°, 240°, 360°}.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan persamaan $\cos 2x = \cos x$ dalam rentang $0 \le x \le 360^\circ$, kita dapat menggunakan identitas $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$.

Maka persamaan menjadi:
$2\cos^2 x - 1 = \cos x$
$2\cos^2 x - \cos x - 1 = 0$

Misalkan $y = \cos x$. Persamaan kuadratnya menjadi:
$2y^2 - y - 1 = 0$
$(2y + 1)(y - 1) = 0$

Ini memberikan dua kemungkinan:
1. $2y + 1 = 0 \implies y = -1/2$
2. $y - 1 = 0 \implies y = 1$

Sekarang kita substitusikan kembali $y = \cos x$:
1. $\cos x = -1/2$
Dalam rentang $0 \le x \le 360^\circ$, nilai $x$ yang memenuhi adalah $120^\circ$ dan $240^\circ$.

2. $\cos x = 1$
Dalam rentang $0 \le x \le 360^\circ$, nilai $x$ yang memenuhi adalah $0^\circ$ dan $360^\circ$.

Himpunan penyelesaiannya adalah {0°, 120°, 240°, 360°}.