Tentukanlah integral berikut ini dengan cara parsial:

Hasil integral parsial dari 2x^2(3x+7)^3 dx adalah (1/6)x^2(3x+7)^4 - (1/45)x(3x+7)^5 + (1/810)(3x+7)^6 + C.

Pembahasan

Untuk menentukan integral dari 2x^2(3x+7)^3 dx dengan cara parsial, kita perlu menggunakan rumus integrasi parsial, yaitu ∫u dv = uv - ∫v du.

Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut:

1.  Pilih u dan dv:
    *   Misalkan u = 2x^2, maka du = 4x dx.
    *   Misalkan dv = (3x+7)^3 dx.

2.  Integralkan dv untuk mendapatkan v:
    *   Untuk mengintegralkan (3x+7)^3 dx, kita bisa menggunakan substitusi u = 3x+7, maka du = 3 dx atau dx = du/3.
    *   ∫(3x+7)^3 dx = ∫u^3 (du/3) = (1/3) ∫u^3 du = (1/3) * (u^4 / 4) + C = (1/12) u^4 + C = (1/12) (3x+7)^4.
    *   Jadi, v = (1/12)(3x+7)^4.

3.  Terapkan rumus integrasi parsial:
    *   ∫u dv = uv - ∫v du
    *   ∫2x^2(3x+7)^3 dx = (2x^2) * [(1/12)(3x+7)^4] - ∫[(1/12)(3x+7)^4] * (4x dx)
    *   = (1/6)x^2(3x+7)^4 - (4/12) ∫x(3x+7)^4 dx
    *   = (1/6)x^2(3x+7)^4 - (1/3) ∫x(3x+7)^4 dx

4.  Integralkan kembali ∫x(3x+7)^4 dx dengan integrasi parsial lagi:
    *   Misalkan u' = x, maka du' = dx.
    *   Misalkan dv' = (3x+7)^4 dx.
    *   Integralkan dv' untuk mendapatkan v':
        *   ∫(3x+7)^4 dx = ∫u^4 (du/3) = (1/3) ∫u^4 du = (1/3) * (u^5 / 5) + C = (1/15) u^5 + C = (1/15)(3x+7)^5.
        *   Jadi, v' = (1/15)(3x+7)^5.
    *   Terapkan rumus integrasi parsial untuk ∫x(3x+7)^4 dx:
        *   ∫x(3x+7)^4 dx = u'v' - ∫v' du'
        *   = x * [(1/15)(3x+7)^5] - ∫[(1/15)(3x+7)^5] dx
        *   = (1/15)x(3x+7)^5 - (1/15) ∫(3x+7)^5 dx
    *   Integralkan ∫(3x+7)^5 dx:
        *   ∫(3x+7)^5 dx = ∫u^5 (du/3) = (1/3) ∫u^5 du = (1/3) * (u^6 / 6) + C = (1/18) u^6 + C = (1/18)(3x+7)^6.
    *   Jadi, ∫x(3x+7)^4 dx = (1/15)x(3x+7)^5 - (1/15) * (1/18)(3x+7)^6
    *   = (1/15)x(3x+7)^5 - (1/270)(3x+7)^6.

5.  Substitusikan kembali ke hasil langkah 3:
    *   ∫2x^2(3x+7)^3 dx = (1/6)x^2(3x+7)^4 - (1/3) [(1/15)x(3x+7)^5 - (1/270)(3x+7)^6]
    *   = (1/6)x^2(3x+7)^4 - (1/45)x(3x+7)^5 + (1/810)(3x+7)^6 + C.

Jawaban lengkapnya adalah (1/6)x^2(3x+7)^4 - (1/45)x(3x+7)^5 + (1/810)(3x+7)^6 + C.