Buktikan kebenaran setiap deret berikut.

Pernyataan "1/2 - 1/4 - 1/8 - ... - 1/2^n = 1/2^n" adalah salah. Jumlah deret geometri tak hingga dengan suku pertama 1/2 dan rasio 1/2 adalah $1 - \frac{1}{2^n}$.

Pembahasan

Pernyataan "1/2 - 1/4 - 1/8 - ... - 1/2^n = 1/2^n" adalah sebuah deret aritmatika atau geometri yang perlu dibuktikan kebenarannya. Mari kita analisis deret tersebut.

Deret yang diberikan adalah: $S_n = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} - \frac{1}{8} - \dots - \frac{1}{2^n}$

Pernyataan ini tampak seperti sebuah kesalahan penulisan atau pemahaman tentang deret. Mari kita asumsikan bahwa yang dimaksud adalah jumlah dari deret geometri tak hingga dengan suku pertama $a = \frac{1}{2}$ dan rasio $r = \frac{1}{2}$, dengan tanda "-" sebelum suku kedua dan seterusnya yang mungkin keliru.

Jika deret yang dimaksud adalah deret geometri dengan suku-suku positif: $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \dots + \frac{1}{2^n}$, ini adalah deret geometri dengan suku pertama $a = \frac{1}{2}$ dan rasio $r = \frac{1}{2}$.

Jumlah $n$ suku pertama dari deret geometri adalah $S_n = a \frac{1-r^n}{1-r}$.
Dalam kasus ini, $S_n = \frac{1}{2} \frac{1 - (\frac{1}{2})^n}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \frac{1 - \frac{1}{2^n}}{\frac{1}{2}} = 1 - \frac{1}{2^n}$.

Dengan demikian, deret $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \dots + \frac{1}{2^n} = 1 - \frac{1}{2^n}$.

Pernyataan awal "1/2 - 1/4 - 1/8 - ... - 1/2^n = 1/2^n" adalah **salah**. Bentuk yang benar dan umum dari deret ini biasanya dijumlahkan menjadi $1 - \frac{1}{2^n}$. Jika yang dimaksud adalah menunjuk pada suku terakhir, maka pernyataan tersebut juga tidak mewakili penjumlahan deret tersebut secara keseluruhan.