Tentukanlah nilai limitnya: lim _(x -> (pi)/(2)) (2

Nilai limitnya adalah -2√2.

Pembahasan

Untuk menentukan nilai limit dari \(\lim _{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{2 x-\pi}{\sqrt{1}-\sin x}\), kita dapat menggunakan aturan L'Hôpital karena substitusi langsung menghasilkan bentuk tak tentu \(\frac{0}{0}\).

Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut:

1.  **Periksa apakah substitusi langsung menghasilkan bentuk tak tentu:**
    Ketika \(x \to \frac{\pi}{2}\), pembilang \(2x - \pi \to 2(\frac{\pi}{2}) - \pi = \pi - \pi = 0\).
    Ketika \(x \to \frac{\pi}{2}\), \(\sin x \to \sin(\frac{\pi}{2}) = 1\), sehingga penyebut \(\sqrt{1} - \sin x \to \sqrt{1} - 1 = 1 - 1 = 0\).
    Karena menghasilkan bentuk tak tentu \(\frac{0}{0}\), kita dapat menggunakan aturan L'Hôpital.

2.  **Terapkan aturan L'Hôpital dengan menurunkan pembilang dan penyebut secara terpisah terhadap x:**
    Turunan pembilang \(\frac{d}{dx}(2x - \pi) = 2\).
    Turunan penyebut \(\frac{d}{dx}(\sqrt{1} - \sin x) = \frac{d}{dx}(1 - \sin x)^{\frac{1}{2}}\).
    Menggunakan aturan rantai, turunan penyebut adalah \(\frac{1}{2}(1 - \sin x)^{-rac{1}{2}} \times (-\cos x) = \frac{-\cos x}{2\sqrt{1 - \sin x}}\).

3.  **Hitung limit dari hasil turunan tersebut:**
    \(\lim _{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{2}{\frac{-\cos x}{2\sqrt{1 - \sin x}}}\) = \(\lim _{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{2 \times 2\sqrt{1 - \sin x}}{-\cos x}\) = \(\lim _{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{4\sqrt{1 - \sin x}}{-\cos x}\).

    Sekarang, kita substitusi kembali \(x = \frac{\pi}{2}\).
    Pembilang: \(4\sqrt{1 - \sin(\frac{\pi}{2})} = 4\sqrt{1 - 1} = 4\sqrt{0} = 0\).
    Penyebut: \(-\cos(\frac{\pi}{2}) = -0 = 0\).
    Kita masih mendapatkan bentuk tak tentu \(\frac{0}{0}\). Oleh karena itu, kita perlu menerapkan aturan L'Hôpital sekali lagi.

4.  **Terapkan aturan L'Hôpital lagi:**
    Turunan pembilang \(\frac{d}{dx}(4\sqrt{1 - \sin x}) = 4 \times \frac{-\cos x}{2\sqrt{1 - \sin x}} = \frac{-2\cos x}{\sqrt{1 - \sin x}}\).
    Turunan penyebut \(\frac{d}{dx}(-\cos x) = \sin x\).

5.  **Hitung limit dari hasil turunan kedua:**
    \(\lim _{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\frac{-2\cos x}{\sqrt{1 - \sin x}}}{\sin x}\) = \(\lim _{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{-2\cos x}{\sin x \sqrt{1 - \sin x}}\).

    Substitusi \(x = \frac{\pi}{2}\):
    Pembilang: \(-2\cos(\frac{\pi}{2}) = -2 \times 0 = 0\).
    Penyebut: \(\sin(\frac{\pi}{2}) \sqrt{1 - \sin(\frac{\pi}{2})} = 1 \times \sqrt{1 - 1} = 1 \times \sqrt{0} = 0\).

    Masih bentuk tak tentu \(\frac{0}{0}\). Mari kita coba cara lain untuk menyederhanakan ekspresi sebelum menurunkan lagi.
    Kita punya \(\lim _{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{4\sqrt{1 - \sin x}}{-\cos x}\).
    Kita tahu bahwa \(1 - \sin x = 1 - \cos(\frac{\pi}{2} - x)\).
    Juga, \(\cos x = \sin(\frac{\pi}{2} - x)\).
    Mari gunakan identitas \(\sin x = 1 - 2\sin^2(\frac{x}{2})\) dan \(\cos x = 2\sin(\frac{x}{2})\cos(\frac{x}{2})\).

    Kembali ke ekspresi sebelum penurunan kedua:
    \(\lim _{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{4\sqrt{1 - \sin x}}{-\cos x}\).
    Kita bisa menggunakan substitusi \(y = \frac{\pi}{2} - x\), sehingga ketika \(x \to \frac{\pi}{2}\), maka \(y \to 0\).
    \(x = \frac{\pi}{2} - y\)
    \(\sin x = \sin(\frac{\pi}{2} - y) = \cos y\)
    \(\cos x = \cos(\frac{\pi}{2} - y) = \sin y\)

    Substitusikan ke dalam limit:
    \(\lim _{y \to 0} \frac{4\sqrt{1 - \cos y}}{-\sin y}\).

    Gunakan identitas \(1 - \cos y = 2\sin^2(\frac{y}{2})\) dan \(\sin y = 2\sin(\frac{y}{2})\cos(\frac{y}{2})\).
    \(\lim _{y \to 0} \frac{4\sqrt{2\sin^2(\frac{y}{2})}}{-2\sin(\frac{y}{2})\cos(\frac{y}{2})}\) = \(\lim _{y \to 0} \frac{4|\sin(\frac{y}{2})|\sqrt{2}}{-2\sin(\frac{y}{2})\cos(\frac{y}{2})}\).

    Karena \(y \to 0\), maka \(\frac{y}{2}\) mendekati 0, sehingga \(\sin(\frac{y}{2}) > 0\) dan kita bisa menghilangkan tanda mutlak.
    \(\lim _{y \to 0} \frac{4\sin(\frac{y}{2})\sqrt{2}}{-2\sin(\frac{y}{2})\cos(\frac{y}{2})}\) = \(\lim _{y \to 0} \frac{4\sqrt{2}}{-2\cos(\frac{y}{2})}\).

    Sekarang substitusi \(y = 0\):
    \(\frac{4\sqrt{2}}{-2\cos(0)}\) = \(\frac{4\sqrt{2}}{-2 \times 1}\) = \(\frac{4\sqrt{2}}{-2}\) = \(-2\sqrt{2}\).

Jadi, nilai limitnya adalah \(-2\sqrt{2}\).