Diketahui dua buah lingkaran x^2+y^2-10x+2y-10=0 dan

Berpotongan di dua titik

Pembahasan

Untuk menentukan kedudukan dua lingkaran, kita perlu membandingkan jarak antara pusat kedua lingkaran dengan jumlah dan selisih jari-jari kedua lingkaran.

Lingkaran 1: x^2 + y^2 - 10x + 2y - 10 = 0
Untuk mencari pusat dan jari-jari, kita ubah ke bentuk umum (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2.
Lengkapi kuadrat:
(x^2 - 10x) + (y^2 + 2y) = 10
(x^2 - 10x + 25) + (y^2 + 2y + 1) = 10 + 25 + 1
(x - 5)^2 + (y + 1)^2 = 36
Pusat lingkaran 1 (P1) = (5, -1)
Jari-jari lingkaran 1 (r1) = sqrt(36) = 6

Lingkaran 2: x^2 + y^2 + 8x - 22y - 7 = 0
Lengkapi kuadrat:
(x^2 + 8x) + (y^2 - 22y) = 7
(x^2 + 8x + 16) + (y^2 - 22y + 121) = 7 + 16 + 121
(x + 4)^2 + (y - 11)^2 = 144
Pusat lingkaran 2 (P2) = (-4, 11)
Jari-jari lingkaran 2 (r2) = sqrt(144) = 12

Jarak antara kedua pusat (P1P2):
Jarak = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)
Jarak = sqrt((-4 - 5)^2 + (11 - (-1))^2)
Jarak = sqrt((-9)^2 + (12)^2)
Jarak = sqrt(81 + 144)
Jarak = sqrt(225)
Jarak = 15

Sekarang kita bandingkan jarak pusat (P1P2) dengan jumlah dan selisih jari-jari:
Jumlah jari-jari (r1 + r2) = 6 + 12 = 18
Selisih jari-jari (|r1 - r2|) = |6 - 12| = |-6| = 6

Perbandingan:
1. Jika P1P2 > r1 + r2, maka kedua lingkaran berjarak di luar.
2. Jika P1P2 = r1 + r2, maka kedua lingkaran bersinggungan di luar.
3. Jika |r1 - r2| < P1P2 < r1 + r2, maka kedua lingkaran berpotongan di dua titik.
4. Jika P1P2 = |r1 - r2|, maka kedua lingkaran bersinggungan di dalam.
5. Jika P1P2 < |r1 - r2|, maka satu lingkaran berada di dalam lingkaran lain.

Dalam kasus ini:
P1P2 = 15
r1 + r2 = 18
|r1 - r2| = 6

Kita melihat bahwa |r1 - r2| < P1P2 < r1 + r2 (yaitu, 6 < 15 < 18).

Oleh karena itu, kedudukan kedua lingkaran tersebut adalah berpotongan di dua titik.