tentukanlah nilai maksimum dan minimumnya pada interval

Nilai maksimum adalah 5 (di x=0), nilai minimum adalah 415/108 (di x=5/6).

Pembahasan

Untuk mencari nilai maksimum dan minimum fungsi f(x) = 4x³ - 5x² + 5 pada interval [0, 5/6], kita perlu mencari turunan pertama fungsi tersebut dan menentukan titik kritisnya.

1. Cari turunan pertama f'(x):
f'(x) = d/dx (4x³ - 5x² + 5)
f'(x) = 12x² - 10x

2. Cari titik kritis dengan menyamakan f'(x) = 0:
12x² - 10x = 0
2x(6x - 5) = 0

Ini memberikan dua solusi: 2x = 0 atau 6x - 5 = 0.
Jadi, x = 0 atau x = 5/6.

3. Evaluasi fungsi f(x) pada titik kritis dan pada batas interval:
Titik kritis yang ada dalam interval [0, 5/6] adalah x = 0 dan x = 5/6.
Batas interval adalah x = 0 dan x = 5/6.

Evaluasi pada x = 0:
f(0) = 4(0)³ - 5(0)² + 5 = 0 - 0 + 5 = 5

Evaluasi pada x = 5/6:
f(5/6) = 4(5/6)³ - 5(5/6)² + 5
f(5/6) = 4(125/216) - 5(25/36) + 5
f(5/6) = 500/216 - 125/36 + 5

Untuk menyederhanakan, cari KPK dari penyebut 216 dan 36, yaitu 216.
125/36 = (125 * 6) / (36 * 6) = 750/216

f(5/6) = 500/216 - 750/216 + 5
f(5/6) = -250/216 + 5

Ubah 5 menjadi pecahan dengan penyebut 216: 5 = 5 * 216 / 216 = 1080/216.

f(5/6) = -250/216 + 1080/216 = 830/216

Sederhanakan 830/216 dengan membagi keduanya dengan 2: 415/108.

4. Bandingkan nilai-nilai tersebut:
Nilai f(x) pada batas dan titik kritis adalah 5 dan 415/108.

Nilai maksimum adalah nilai terbesar, dan nilai minimum adalah nilai terkecil.
5 = 540/108.

Jadi, nilai maksimumnya adalah 5 (terjadi di x=0) dan nilai minimumnya adalah 415/108 (terjadi di x=5/6).

Atau jika kita perhatikan turunan f'(x) = 12x² - 10x = 2x(6x-5). Pada interval (0, 5/6), misalnya x=1/6, f'(1/6) = 2(1/6)(6(1/6)-5) = (1/3)(1-5) = (1/3)(-4) = -4/3. Ini berarti fungsi menurun pada interval (0, 5/6). Maka, nilai maksimum terjadi di x=0 dan nilai minimum terjadi di x=5/6.