Tentukanlah persamaan garis singgung pada elips x^2+ 4y^2 =

Persamaan garis singgung elips adalah \sqrt{5}x - 4y \pm 12 = 0.

Pembahasan

Untuk menentukan persamaan garis singgung pada elips x^2 + 4y^2 = 16 yang tegak lurus terhadap garis \sqrt{5}y + 4x + 3 = 0, kita ikuti langkah-langkah berikut:

Langkah 1: Cari gradien garis yang diberikan.
Garis \sqrt{5}y + 4x + 3 = 0 dapat ditulis ulang menjadi \sqrt{5}y = -4x - 3, atau y = (-4/\sqrt{5})x - 3/\sqrt{5}. Gradien garis ini adalah m1 = -4/\sqrt{5}.

Langkah 2: Tentukan gradien garis singgung.
Karena garis singgung tegak lurus terhadap garis yang diberikan, gradiennya (m2) adalah negatif kebalikan dari m1. Jadi, m2 = -1/m1 = -1/(-4/\sqrt{5}) = \sqrt{5}/4.

Langkah 3: Gunakan rumus persamaan garis singgung elips.
Persamaan elips adalah x^2/16 + y^2/4 = 1. Bentuk umum persamaan garis singgung elips x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 dengan gradien m adalah y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 + b^2}. Di sini, a^2 = 16 dan b^2 = 4.

Langkah 4: Substitusikan nilai a^2, b^2, dan m ke dalam rumus.
y = (\sqrt{5}/4)x \pm \sqrt{16(\sqrt{5}/4)^2 + 4}
y = (\sqrt{5}/4)x \pm \sqrt{16(5/16) + 4}
y = (\sqrt{5}/4)x \pm \sqrt{5 + 4}
y = (\sqrt{5}/4)x \pm \sqrt{9}
y = (\sqrt{5}/4)x \pm 3

Langkah 5: Ubah persamaan ke bentuk Ax + By + C = 0.
Kalikan seluruh persamaan dengan 4:
4y = \sqrt{5}x \pm 12
\sqrt{5}x - 4y \pm 12 = 0.

Jadi, persamaan garis singgungnya adalah \sqrt{5}x - 4y + 12 = 0 dan \sqrt{5}x - 4y - 12 = 0.