Titik A(5, 2) direfleksikan terhadap garis y=x. Kemudian,

45 derajat (atau pi/4 radian)

Pembahasan

Langkah 1: Refleksi titik A(5, 2) terhadap garis y=x.
Jika titik (x, y) direfleksikan terhadap garis y=x, maka bayangannya adalah (y, x). Jadi, bayangan titik A adalah A'(2, 5).

Langkah 2: Rotasi titik A'(2, 5) dengan pusat O(0, 0) sejauh theta.
Koordinat bayangan akhir adalah A"(-3/2 akar(2), 7/2 akar(2)).
Rumus rotasi titik (x, y) sejauh theta dengan pusat O(0, 0) adalah:
x' = x cos(theta) - y sin(theta)
y' = x sin(theta) + y cos(theta)

Menerapkan pada titik A'(2, 5) dengan bayangan A"(-3/2 akar(2), 7/2 akar(2)):
-3/2 akar(2) = 2 cos(theta) - 5 sin(theta)  ...(1)
7/2 akar(2) = 2 sin(theta) + 5 cos(theta)    ...(2)

Untuk menemukan nilai theta, kita bisa menggunakan identitas trigonometri atau mencoba nilai-nilai umum.
Mari kita coba uraikan dengan mengkuadratkan dan menjumlahkan kedua persamaan:
(-3/2 akar(2))^2 = (2 cos(theta) - 5 sin(theta))^2
18/4 = 4 cos^2(theta) - 20 sin(theta)cos(theta) + 25 sin^2(theta)
9/2 = 4 cos^2(theta) - 20 sin(theta)cos(theta) + 25 sin^2(theta)

(7/2 akar(2))^2 = (2 sin(theta) + 5 cos(theta))^2
98/4 = 4 sin^2(theta) + 20 sin(theta)cos(theta) + 25 cos^2(theta)
49/2 = 4 sin^2(theta) + 20 sin(theta)cos(theta) + 25 cos^2(theta)

Jumlahkan kedua hasil:
9/2 + 49/2 = (4 cos^2(theta) + 25 sin^2(theta)) + (4 sin^2(theta) + 25 cos^2(theta))
58/2 = 29 cos^2(theta) + 29 sin^2(theta)
29 = 29 (cos^2(theta) + sin^2(theta))
29 = 29 (1)
29 = 29
Ini hanya memverifikasi konsistensi, belum memberikan nilai theta.

Mari kita gunakan metode lain. Kita bisa mencoba mengidentifikasi sudut dari nilai cos dan sin.
Misalkan kita punya titik P(x,y) dan bayangannya P'(x', y') setelah rotasi theta.
Jika kita punya A'(2,5) dan A''(-3/2 akar(2), 7/2 akar(2)), kita bisa membandingkan dengan rumus rotasi.

Kita bisa menguji nilai theta. Misalkan theta = 135 derajat (3pi/4 radian).
cos(135) = -1/2 akar(2)
sin(135) = 1/2 akar(2)

x' = 2 * (-1/2 akar(2)) - 5 * (1/2 akar(2)) = -akar(2) - 5/2 akar(2) = -7/2 akar(2) (Tidak cocok)

Misalkan theta = 45 derajat (pi/4 radian).
cos(45) = 1/2 akar(2)
sin(45) = 1/2 akar(2)

x' = 2 * (1/2 akar(2)) - 5 * (1/2 akar(2)) = akar(2) - 5/2 akar(2) = -3/2 akar(2) (Cocok untuk x)
y' = 2 * (1/2 akar(2)) + 5 * (1/2 akar(2)) = akar(2) + 5/2 akar(2) = 7/2 akar(2) (Cocok untuk y)

Jadi, nilai dari theta adalah 45 derajat atau pi/4 radian.