Titik-titik A, B, dan C merupakan titik-titik ujung dari

Nilai k adalah ±sqrt(181)/2.

Pembahasan

Untuk mencari nilai k, kita perlu memahami konsep vektor posisi dan panjang vektor.

Titik A, B, dan C merupakan titik-titik ujung dari vektor posisi:
A = i + 3j
B = 2i + 5j
C = ki - 4j

Panjang vektor posisi |A| diberikan sebagai 7/2 dari panjang vektor AB (|AB|).

Langkah 1: Hitung vektor AB.
Vektor AB = Vektor Posisi B - Vektor Posisi A
AB = (2i + 5j) - (i + 3j)
AB = (2-1)i + (5-3)j
AB = i + 2j

Langkah 2: Hitung panjang vektor AB (|AB|).
|AB| = sqrt((1)^2 + (2)^2)
|AB| = sqrt(1 + 4)
|AB| = sqrt(5)

Langkah 3: Gunakan informasi |A| = 7/2 |AB|.
|A| = 7/2 * sqrt(5)

Langkah 4: Hitung panjang vektor A (|A|).
Vektor A = i + 3j
|A| = sqrt((1)^2 + (3)^2)
|A| = sqrt(1 + 9)
|A| = sqrt(10)

Langkah 5: Samakan kedua ekspresi untuk |A|.
sqrt(10) = 7/2 * sqrt(5)
Kuadratkan kedua sisi:
10 = (49/4) * 5
10 = 245/4
Ini adalah kontradiksi, yang berarti ada kesalahan dalam pemahaman soal atau soal tersebut memiliki nilai yang tidak konsisten.

Mari kita asumsikan bahwa |A| merujuk pada panjang vektor OA, di mana O adalah titik asal (0,0), dan A adalah titik ujung vektor posisi i+3j.
Vektor OA = i+3j, sehingga |OA| = sqrt(1^2 + 3^2) = sqrt(10).

Sekarang mari kita periksa kembali soalnya: "Carilah nilai k apabila |A|=7/2 |AB|!". Ini menyiratkan bahwa |A| harus sama dengan 7/2 kali |AB|. Namun, dari perhitungan di atas, |A| = sqrt(10) dan |AB| = sqrt(5). Maka, 7/2 * |AB| = 7/2 * sqrt(5). Ini tidak sama dengan sqrt(10).

Ada kemungkinan soal tersebut salah ketik atau ada informasi yang hilang. Namun, jika kita harus mencari nilai k berdasarkan informasi yang diberikan, kita perlu mengasumsikan bahwa |A| yang dimaksud adalah panjang vektor OA.

Jika soalnya adalah: Titik-titik A, B, dan C merupakan titik-titik ujung dari vektor posisi OA=i+3j, OB=2i+5j, dan OC=ki-4j. Carilah nilai k apabila |OC|=7/2 |AB|!

Maka:
|OC| = sqrt(k^2 + (-4)^2) = sqrt(k^2 + 16)
|AB| = sqrt(5)

sqrt(k^2 + 16) = 7/2 * sqrt(5)
Kuadratkan kedua sisi:
k^2 + 16 = (49/4) * 5
k^2 + 16 = 245/4
k^2 = 245/4 - 16
k^2 = 245/4 - 64/4
k^2 = 181/4
k = ±sqrt(181)/2

Namun, berdasarkan formulasi soal asli "|A|=7/2 |AB|!", dan A adalah titik ujung vektor posisi i+3j, maka |A| adalah panjang vektor posisi tersebut, yaitu sqrt(10). Jika ini yang dimaksud, maka soal tersebut tidak memiliki solusi untuk k karena tidak ada k dalam perhitungan |A| dan |AB|.

Karena soal meminta nilai k, dan k hanya muncul pada vektor posisi C, maka kemungkinan besar ada kesalahan dalam penulisan soal mengenai hubungan antara |A| dan |AB|.

Jika kita mengabaikan informasi tentang |A| dan fokus pada mencari k jika ada kondisi lain, kita tidak dapat menyelesaikannya. Namun, jika kita mengasumsikan bahwa "|A|=7/2 |AB|!" seharusnya merujuk pada vektor yang melibatkan k, misalnya |AC| atau |BC| atau |OC|, maka kita bisa menghitungnya.

Mengikuti interpretasi yang paling mungkin dari soal yang tampaknya memiliki kesalahan pengetikan, di mana |A| seharusnya merujuk pada vektor posisi C (OC), maka nilai k adalah ±sqrt(181)/2.