Tujuh bilangan berjumlah 133 membentuk barisan Aritmetika.

247

Pembahasan

Misalkan barisan aritmetika tersebut adalah a-3b, a-2b, a-b, a, a+b, a+2b, a+3b. 
Jumlah tujuh bilangan tersebut adalah (a-3b) + (a-2b) + (a-b) + a + (a+b) + (a+2b) + (a+3b) = 7a. 
Diketahui jumlahnya adalah 133, maka 7a = 133, sehingga a = 19.

Barisan aritmetika awal: 19-3b, 19-2b, 19-2b, 19, 19+b, 19+2b, 19+3b.

Di setiap dua suku berurutan disisipkan rata-ratanya. Rata-rata dari dua suku berurutan x dan y adalah (x+y)/2.

Barisan baru menjadi:
(a-3b + a-2b)/2, a-3b, (a-3b + a-2b)/2, a-2b, (a-2b + a-b)/2, a-b, (a-b + a)/2, a, (a + a+b)/2, a+b, (a+b + a+2b)/2, a+2b, (a+2b + a+3b)/2, a+3b

Dalam barisan baru ini, terdapat 7 suku awal dan 6 suku baru yang disisipkan. Jadi ada 13 suku.

Jumlah semua bilangan di barisan baru:
Setiap suku awal (a-3b, a-2b, a-b, a, a+b, a+2b, a+3b) muncul sekali.
Setiap suku baru adalah rata-rata dari dua suku berurutan. 

Perhatikan bahwa rata-rata dari dua suku berurutan dalam barisan aritmetika juga merupakan suku aritmetika. 

Contoh: suku pertama dan kedua adalah $S_1$ dan $S_2$. Rata-ratanya adalah $(S_1+S_2)/2$. Suku kedua dan ketiga adalah $S_2$ dan $S_3$. Rata-ratanya adalah $(S_2+S_3)/2$. 

Barisan aritmetika baru:
$S'_1 = (S_1+S_2)/2$
$S'_2 = S_2$
$S'_3 = (S_2+S_3)/2$
...

Jumlah suku-suku yang disisipkan:
$(a-3b+a-2b)/2 + (a-2b+a-b)/2 + (a-b+a)/2 + (a+a+b)/2 + (a+b+a+2b)/2 + (a+2b+a+3b)/2$
= $(2a-5b)/2 + (2a-3b)/2 + (2a-b)/2 + (2a+b)/2 + (2a+3b)/2 + (2a+5b)/2$
= $(12a)/2 = 6a$

Jumlah total semua bilangan di barisan baru adalah jumlah suku awal + jumlah suku yang disisipkan = $7a + 6a = 13a$.
Karena a = 19, maka jumlahnya adalah $13 * 19 = 247$.