Tentukan nilai a, b, dan c yang memenuhi ekspresi berikut.

a=2, b=-6, c=2

Pembahasan

Untuk menentukan nilai a, b, dan c, kita perlu menurunkan ekspresi \( \sin x \cos x \sqrt{2 - \sin^2 x} \) terhadap x. 
Misalkan \( y = \sin x \cos x \sqrt{2 - \sin^2 x} \). Kita dapat menggunakan aturan perkalian dan aturan rantai untuk menurunkan y.

Aturan Perkalian: \( (uv)' = u'v + uv' \)
Misalkan \( u = \sin x \cos x \) dan \( v = \sqrt{2 - \sin^2 x} \).

Menurunkan u:
\( u' = \frac{d}{dx}(\sin x \cos x) \)
Menggunakan aturan perkalian lagi untuk u:
Misalkan \( p = \sin x \) dan \( q = \cos x \).
\( u' = p'q + pq' = (\cos x)(\cos x) + (\sin x)(-\sin x) = \cos^2 x - \sin^2 x = \cos(2x) \).

Menurunkan v:
\( v = (2 - \sin^2 x)^{1/2} \)
Menggunakan aturan rantai:
\( v' = \frac{1}{2}(2 - \sin^2 x)^{-1/2} \cdot \frac{d}{dx}(2 - \sin^2 x) \)
\( v' = \frac{1}{2\sqrt{2 - \sin^2 x}} \cdot (-2 \sin x \cos x) \)
\( v' = \frac{-\sin x \cos x}{\sqrt{2 - \sin^2 x}} \).

Sekarang, terapkan aturan perkalian pada y:
\( y' = u'v + uv' \)
\( y' = (\cos(2x))(\sqrt{2 - \sin^2 x}) + (\sin x \cos x)(\frac{-\sin x \cos x}{\sqrt{2 - \sin^2 x}}) \)
\( y' = \cos(2x)\sqrt{2 - \sin^2 x} - \frac{\sin^2 x \cos^2 x}{\sqrt{2 - \sin^2 x}} \)
Samakan penyebutnya:
\( y' = \frac{\cos(2x)(2 - \sin^2 x) - \sin^2 x \cos^2 x}{\sqrt{2 - \sin^2 x}} \)
Gunakan identitas \( \cos(2x) = 1 - 2\sin^2 x \) dan \( \cos^2 x = 1 - \sin^2 x \):
\( y' = \frac{(1 - 2\sin^2 x)(2 - \sin^2 x) - \sin^2 x (1 - \sin^2 x)}{\sqrt{2 - \sin^2 x}} \)
Kalikan suku pertama:
\( y' = \frac{2 - \sin^2 x - 4\sin^2 x + 2\sin^4 x - \sin^2 x + \sin^4 x}{\sqrt{2 - \sin^2 x}} \)
Gabungkan suku-suku yang sejenis:
\( y' = \frac{2\sin^4 x - 6\sin^2 x + 2}{\sqrt{2 - \sin^2 x}} \)
Bandingkan dengan ekspresi yang diberikan \( \frac{a \sin^4 x + b \sin^2 x + c}{\sqrt{2 - \sin^2 x}} \).
Kita dapat melihat bahwa:
\( a = 2 \)
\( b = -6 \)
\( c = 2 \)