Command Palette

Search for a command to run...

Kelas 11Kelas 10mathTrigonometri

Tulislah dalam bentuk rumus-rumus untuk sin alpha, cos

Pertanyaan

Tulislah dalam bentuk rumus-rumus untuk sin alpha, cos alpha, dan tan alpha yang dinyatakan dalam 1/2 alpha.

Solusi

Verified

Rumusnya: sin α = 2sin(α/2)cos(α/2), cos α = cos²(α/2) - sin²(α/2) atau 2cos²(α/2) - 1 atau 1 - 2sin²(α/2), tan α = 2tan(α/2) / (1 - tan²(α/2)).

Pembahasan

Dalam trigonometri, identitas setengah sudut memungkinkan kita mengekspresikan fungsi trigonometri dari suatu sudut (misalnya, $\alpha$) dalam bentuk fungsi trigonometri dari setengah sudut tersebut ($\alpha/2$). Berikut adalah rumus-rumus untuk sin alpha, cos alpha, dan tan alpha yang dinyatakan dalam bentuk $\alpha/2$: 1. **Rumus Sinus (sin α):** Rumus umum untuk sin(2x) adalah 2 sin(x) cos(x). Jika kita substitusikan $x = \alpha/2$, maka kita peroleh: $\sin \alpha = 2 \sin(\alpha/2) \cos(\alpha/2)$ 2. **Rumus Kosinus (cos α):** Ada beberapa bentuk rumus kosinus setengah sudut. Salah satu yang paling umum diturunkan dari identitas $\cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x)$. Jika kita substitusikan $x = \alpha/2$, maka: $\cos \alpha = \cos^2(\alpha/2) - \sin^2(\alpha/2)$ Menggunakan identitas $\sin^2(\alpha/2) + \cos^2(\alpha/2) = 1$, kita juga bisa mendapatkan: $\cos \alpha = 2 \cos^2(\alpha/2) - 1$ atau $\cos \alpha = 1 - 2 \sin^2(\alpha/2)$ 3. **Rumus Tangen (tan α):** Rumus tangen adalah sinus dibagi kosinus: $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$. Menggunakan rumus yang sudah kita dapatkan: $\tan \alpha = \frac{2 \sin(\alpha/2) \cos(\alpha/2)}{\cos^2(\alpha/2) - \sin^2(\alpha/2)}$ Kita juga bisa menyatakannya dalam bentuk yang lebih sederhana dengan membagi pembilang dan penyebut dengan $\cos^2(\alpha/2)$: $\tan \alpha = \frac{2 \frac{\sin(\alpha/2)}{\cos(\alpha/2)}}{1 - \frac{\sin^2(\alpha/2)}{\cos^2(\alpha/2)}} = \frac{2 \tan(\alpha/2)}{1 - \tan^2(\alpha/2)}$ Jadi, rangkumannya: * $\sin \alpha = 2 \sin(\alpha/2) \cos(\alpha/2)$ * $\cos \alpha = \cos^2(\alpha/2) - \sin^2(\alpha/2) = 2 \cos^2(\alpha/2) - 1 = 1 - 2 \sin^2(\alpha/2)$ * $\tan \alpha = \frac{2 \tan(\alpha/2)}{1 - \tan^2(\alpha/2)}$

Buka akses pembahasan jawaban

Topik: Rumus Setengah Sudut, Identitas Trigonometri
Section: Penurunan Rumus Setengah Sudut

Apakah jawaban ini membantu?