Tulislah dalam notasi sigma, kemudian tentukan

Notasi sigma: \(\sum_{k=1}^{n+1} (4k - 3)\). Jumlah deret: \(2n^2 + 3n + 1\).

Pembahasan

Barisan yang diberikan adalah 1, 5, 9, ... , (4n+1). Ini adalah barisan aritmatika dengan suku pertama \(a = 1\) dan beda antar suku \(d = 5 - 1 = 4\).

Notasi sigma dari barisan ini adalah \(\sum_{i=1}^{n} (4i - 3)\). Kita dapat memverifikasi ini: untuk \(i=1\), \(4(1)-3 = 1\); untuk \(i=2\), \(4(2)-3 = 5\); untuk \(i=3\), \(4(3)-3 = 9\). Suku ke-n adalah \(a + (n-1)d = 1 + (n-1)4 = 1 + 4n - 4 = 4n - 3\). Namun, soal menyatakan suku terakhir adalah \((4n+1)\). Ini mengindikasikan bahwa deret tersebut memiliki \(n\) suku dengan suku terakhirnya adalah \(4n+1\). Dalam hal ini, kita perlu mencari suku ke-k dalam bentuk \(a_k = a + (k-1)d\). Kita asumsikan suku terakhir \(4n+1\) adalah suku ke-\(\alpha\). Maka \(1 + (\alpha-1)4 = 4n+1\), yang berarti \(4\alpha - 4 = 4n\), sehingga \(\alpha = n+1\). Jadi, deret tersebut memiliki \(n+1\) suku.

Notasi sigma yang benar untuk deret 1+5+9+...+(4n+1) dengan \(n+1\) suku adalah \(\sum_{k=1}^{n+1} (4k - 3)\).

Untuk menentukan formula ekspresi \(n\) dari jumlah deret ini, kita gunakan rumus jumlah deret aritmatika \(S_m = \frac{m}{2}(a + U_m)\), di mana \(m\) adalah jumlah suku, \(a\) adalah suku pertama, dan \(U_m\) adalah suku terakhir.
Dalam kasus ini, jumlah suku \(m = n+1\), suku pertama \(a = 1\), dan suku terakhir \(U_{n+1} = 4n+1\).

Maka, jumlahnya adalah \(S_{n+1} = \frac{n+1}{2}(1 + (4n+1)) = \frac{n+1}{2}(4n+2) = (n+1)(2n+1) = 2n^2 + 3n + 1\).