Tulislah suatu sistem pertidaksamaan linear untuk daerah

a. 2x + 3y \leq 6, x \geq 0, y \geq 0. b. 2x + y \leq 8, x + y \geq 2, x \geq 0, y \geq 0 (dengan asumsi titik intersep tertentu).

Pembahasan

Untuk menentukan sistem pertidaksamaan linear untuk daerah yang diwarnai, kita perlu mengidentifikasi persamaan garis yang membentuk batas daerah tersebut dan kemudian menentukan pertidaksamaan yang sesuai berdasarkan arah daerah yang diarsir.

**a. Grafik pertama:**
Daerah yang diarsir dibatasi oleh sumbu x, sumbu y, dan sebuah garis yang memotong sumbu x di (3,0) dan sumbu y di (0,2).

1.  **Mencari persamaan garis:**
    Kita bisa menggunakan bentuk intersep persamaan garis: \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1\), di mana \(a\) adalah intersep x dan \(b\) adalah intersep y.
    Dengan \(a=3\) dan \(b=2\), persamaannya adalah: \(\frac{x}{3} + \frac{y}{2} = 1\).
    Untuk menghilangkan pecahan, kalikan kedua sisi dengan 6: \(2x + 3y = 6\).

2.  **Menentukan pertidaksamaan:**
    Daerah yang diarsir berada di bawah garis \(2x + 3y = 6\) dan di kuadran pertama (termasuk sumbu x dan y positif).
    Ambil titik uji di daerah yang diarsir, misalnya (1,1):
    \(2(1) + 3(1) = 2 + 3 = 5\).
    Karena 5 lebih kecil dari 6, dan daerahnya di bawah garis, pertidaksamaannya adalah \(2x + 3y \leq 6\).
    Selain itu, karena daerah berada di kuadran pertama, kita juga memiliki \(x \geq 0\) dan \(y \geq 0\).

    Jadi, sistem pertidaksamaan linear untuk bagian a adalah:
    *   \(2x + 3y \leq 6\)
    *   \(x \geq 0\)
    *   \(y \geq 0\)

**b. Grafik kedua:**
Daerah yang diarsir dibatasi oleh sumbu x, sumbu y, dan dua garis. Satu garis memotong sumbu x di (4,0) dan sumbu y di (0,4). Garis lainnya memotong sumbu x di titik yang tidak diketahui (tetapi terlihat seperti 2,0) dan sumbu y di (0,2), serta melewati titik (2,4).

Mari kita asumsikan garis kedua memotong sumbu x di (2,0) dan sumbu y di (0,2). Persamaan garisnya adalah \(\frac{x}{2} + \frac{y}{2} = 1\), atau \(x+y=2\). Daerah di bawah garis ini akan menjadi \(x+y \leq 2\).

Sekarang, mari kita analisis garis pertama yang melalui (4,0) dan (2,4).

1.  **Mencari persamaan garis pertama:**
    Gradien (m) = \(\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{4 - 0}{2 - 4} = \frac{4}{-2} = -2\).
    Menggunakan bentuk titik-gradien \(y - y_1 = m(x - x_1)\) dengan titik (4,0):
    \(y - 0 = -2(x - 4)\)
    \(y = -2x + 8\)
    Atau dalam bentuk standar: \(2x + y = 8\).

2.  **Menentukan pertidaksamaan untuk garis pertama:**
    Daerah yang diarsir berada di bawah garis \(2x + y = 8\).
    Ambil titik uji (1,1):
    \(2(1) + 1 = 3\).
    Karena 3 lebih kecil dari 8, pertidaksamaannya adalah \(2x + y \leq 8\).

3.  **Menentukan pertidaksamaan untuk garis kedua (asumsi titik intersep adalah (2,0) dan (0,2)):**
    Persamaan garisnya adalah \(x+y=2\).
    Daerah yang diarsir berada di atas garis ini (jika kita melihat titik potong (2,4) yang berada di atas garis \(x+y=2\) karena 2+4=6 > 2).
    Ambil titik uji (3,3) yang berada di daerah yang diarsir:
    \(3+3 = 6\).
    Karena 6 lebih besar dari 2, pertidaksamaannya adalah \(x+y \geq 2\).

4.  **Kendala lainnya:**
    Daerah tersebut juga dibatasi oleh sumbu x dan y positif, jadi \(x \geq 0\) dan \(y \geq 0\).

    Jadi, sistem pertidaksamaan linear untuk bagian b adalah:
    *   \(2x + y \leq 8\)
    *   \(x + y \geq 2\)
    *   \(x \geq 0\)
    *   \(y \geq 0\)

    *Catatan: Jika asumsi titik intersep pada sumbu x untuk garis kedua salah, sistem pertidaksamaan mungkin perlu disesuaikan berdasarkan gambar yang sebenarnya.*