Tunjukkan bahwa 4 sin36 sin12 cos24=1-cos24+akar(3) sin12

Pembuktian identitas trigonometri ini memerlukan manipulasi aljabar dan penggunaan identitas trigonometri.

Pembahasan

Untuk membuktikan identitas trigonometri $$4 \sin 36^{\circ} \sin 12^{\circ} \cos 24^{\circ} = \frac{1}{2} (\cos(36^{\circ}+12^{\circ}) - \cos(36^{\circ}-12^{\circ})) \times 2 \cos 24^{\circ}$$ $$ = 2 \cos 24^{\circ} (\cos 48^{\circ} - \cos 24^{\circ})$$ $$ = 2 \cos 24^{\circ} \cos 48^{\circ} - 2 \cos^2 24^{\circ}$$ Menggunakan identitas $2 \cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B)$ dan $2 \cos^2 A = 1 + \cos 2A$, kita dapatkan: $$ = (\cos(24^{\circ}+48^{\circ}) + \cos(48^{\circ}-24^{\circ})) - (1 + \cos(2 	imes 24^{\circ}))$$ $$ = \cos 72^{\circ} + \cos 24^{\circ} - 1 - \cos 48^{\circ}$$ Menggunakan identitas $\cos 72^{\circ} = \sin 18^{\circ} = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$ dan $\cos 48^{\circ} = \sin 42^{\circ}$. Kita tahu bahwa $\sin 42^{\circ} \neq \cos 24^{\circ} - \cos 48^{\circ}$. Mari kita gunakan pendekatan lain. Kalikan kedua sisi dengan 2:
$$8 \sin 36^{\circ} \sin 12^{\circ} \cos 24^{\circ} = 2(1 - \cos 24^{\circ} + \sqrt{3} \sin 12^{\circ})$$