Tunjukkan bahwa bentuk persegi dari persamaan: r=a sin 3

Persamaan polar r=a sin 3θ setara dengan (x²+y²)²=ay(3x²-y²) dalam koordinat Kartesius.

Pembahasan

Kita diberikan persamaan dalam koordinat polar r = a sin 3θ dan diminta untuk menunjukkannya dalam bentuk persegi (kartesius) (x² + y²)² = ay(3x² - y²).
Petunjuk yang diberikan adalah sin 3θ = 3 sin θ - 4 sin³ θ.

Hubungan antara koordinat polar (r, θ) dan koordinat Kartesius (x, y) adalah:
x = r cos θ
y = r sin θ
r² = x² + y²

Dari r = a sin 3θ, kita substitusikan identitas sin 3θ:
r = a (3 sin θ - 4 sin³ θ)
Kalikan kedua sisi dengan r³:
r⁴ = a (3r³ sin θ - 4r³ sin³ θ)

Sekarang kita ubah ke koordinat Kartesius:
r⁴ = (r²)² = (x² + y²)²
Karena y = r sin θ, maka sin θ = y/r.
Substitusikan ini:
(x² + y²)² = a (3r³ (y/r) - 4r³ (y/r)³)
(x² + y²)² = a (3r²y - 4r³ (y³/r³))
(x² + y²)² = a (3r²y - 4y³)
Substitusikan r² = x² + y²:
(x² + y²)² = a (3(x² + y²)y - 4y³)
(x² + y²)² = a (3x²y + 3y³ - 4y³)
(x² + y²)² = a (3x²y - y³)
(x² + y²)² = ay(3x² - y²)

Ini menunjukkan bahwa persamaan r = a sin 3θ dalam koordinat polar setara dengan (x² + y²)² = ay(3x² - y²) dalam koordinat Kartesius.