Tunjukkan bahwa dalam barisan geometri

Rumus jumlah n suku pertama barisan geometri Sn=(a(r^n-1))/(r-1) dapat dibuktikan menggunakan induksi matematika.

Pembahasan

Untuk menunjukkan bahwa dalam barisan geometri berlaku Sn=(a(r^n-1))/(r-1) untuk r>1, n>=1, dan n adalah bilangan asli, kita dapat menggunakan definisi barisan geometri dan metode pembuktian induksi matematika.

Definisi Barisan Geometri:
Barisan geometri adalah barisan bilangan yang memiliki rasio (perbandingan) konstan antara dua suku berurutan. Suku pertama dilambangkan dengan 'a' dan rasio dilambangkan dengan 'r'. Suku ke-n dari barisan geometri adalah Un = a * r^(n-1).

Jumlah n suku pertama (Sn) dari barisan geometri adalah:
Sn = a + ar + ar^2 + ... + ar^(n-1)

Metode Pembuktian:
1. Basis Induksi:
   Untuk n = 1, Sn = S1 = a.
   Menggunakan rumus: S1 = (a(r^1 - 1))/(r - 1) = (a(r - 1))/(r - 1) = a.
   Pernyataan berlaku untuk n = 1.

2. Langkah Induksi:
   Asumsikan pernyataan berlaku untuk n = k, yaitu:
   Sk = (a(r^k - 1))/(r - 1)

   Kita perlu menunjukkan bahwa pernyataan berlaku untuk n = k + 1:
   Sk+1 = (a(r^(k+1) - 1))/(r - 1)

   Kita tahu bahwa Sk+1 = Sk + Uk+1.
   Uk+1 = a * r^((k+1)-1) = a * r^k.

   Maka, Sk+1 = (a(r^k - 1))/(r - 1) + a * r^k
   Sk+1 = (a(r^k - 1) + a * r^k * (r - 1)) / (r - 1)
   Sk+1 = (a * r^k - a + a * r^(k+1) - a * r^k) / (r - 1)
   Sk+1 = (a * r^(k+1) - a) / (r - 1)
   Sk+1 = (a(r^(k+1) - 1)) / (r - 1)

   Pernyataan terbukti berlaku untuk n = k + 1.

Kesimpulan:
Dengan menggunakan prinsip induksi matematika, terbukti bahwa dalam barisan geometri berlaku Sn=(a(r^n-1))/(r-1), untuk r>1, n>=1, dan n adalah bilangan asli.