Tunjukkan bahwa:n C n-r n 3C n-r+1 + 3 . n C n-r+2 + n C

Identitas terbukti dengan menggunakan sifat n C k = n C n-k dan identitas Pascal berulang kali.

Pembahasan

Kita perlu menunjukkan identitas kombinatorik: n C n-r + n C n-r+1 = n+1 C n-r+1.  Namun, soal yang diberikan adalah menunjukkan bahwa: n C n-r + 3 . n C n-r+1 + 3 . n C n-r+2 + n C n-r+3 = n+3 C r.

Kita akan menggunakan sifat-sifat kombinasi, khususnya identitas Pascal: n C k + n C k+1 = n+1 C k+1.

Mari kita analisis sisi kiri persamaan:
Sisi Kiri = n C n-r + 3 * n C n-r+1 + 3 * n C n-r+2 + n C n-r+3

Kita bisa menulis ulang koefisien 3 sebagai (1+2) atau (2+1) untuk memanfaatkan identitas Pascal.

Pertama, kita gunakan sifat n C k = n C n-k.
Jadi, n C n-r = n C r
n C n-r+1 = n C r-1
n C n-r+2 = n C r-2
n C n-r+3 = n C r-3

Persamaan menjadi:
n C r + 3 * n C r-1 + 3 * n C r-2 + n C r-3 = n+3 C r

Mari kita fokus pada sisi kiri dan gunakan identitas Pascal berulang kali:
Sisi Kiri = (n C r + n C r-1) + 2 * (n C r-1 + n C r-2) + (n C r-2 + n C r-3)

Gunakan identitas Pascal pada setiap kurung:
(n C r + n C r-1) = n+1 C r
(n C r-1 + n C r-2) = n+1 C r-1
(n C r-2 + n C r-3) = n+1 C r-2

Substitusikan kembali:
Sisi Kiri = (n+1 C r) + 2 * (n+1 C r-1) + (n+1 C r-2)

Sekarang kita pisahkan koefisien 2:
Sisi Kiri = (n+1 C r + n+1 C r-1) + (n+1 C r-1 + n+1 C r-2)

Gunakan identitas Pascal lagi:
(n+1 C r + n+1 C r-1) = n+2 C r
(n+1 C r-1 + n+1 C r-2) = n+2 C r-1

Substitusikan kembali:
Sisi Kiri = n+2 C r + n+2 C r-1

Gunakan identitas Pascal untuk terakhir kalinya:
n+2 C r + n+2 C r-1 = n+3 C r

Ini sama dengan sisi kanan persamaan.

Jadi, terbukti bahwa n C n-r + 3 . n C n-r+1 + 3 . n C n-r+2 + n C n-r+3 = n+3 C r.