tentukan hasil bagi dan sisa terlebih dahulu, lalu turunkan

Hasil bagi: x+3, Sisa: 36, Turunan: (x^2 - 12x) / (x-6)^2

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu melakukan dua langkah utama: pertama, melakukan pembagian polinomial, dan kedua, menurunkan hasilnya.

Langkah 1: Pembagian Polinomial (x^2 - 3x + 18) / (x - 6)
Kita bisa menggunakan metode pembagian panjang atau metode Horner.
Menggunakan pembagian panjang:
        x  + 3
      ________
x - 6 | x^2 - 3x + 18
      -(x^2 - 6x)
      __________
            3x + 18
          -(3x - 18)
          ________
                 36

Hasil bagi adalah (x + 3) dan sisa pembagian adalah 36. Jadi, (x^2 - 3x + 18) / (x - 6) = x + 3 + 36/(x-6).

Langkah 2: Menurunkan hasil pembagian.
Kita perlu menurunkan fungsi baru: f(x) = x + 3 + 36(x-6)^(-1).
Menggunakan aturan turunan:
d/dx (x) = 1
d/dx (3) = 0
d/dx (36(x-6)^(-1)) = 36 * (-1) * (x-6)^(-2) * d/dx(x-6)
= -36 * (x-6)^(-2) * 1
= -36 / (x-6)^2

Jadi, turunan dari ((x^2 - 3x + 18) / (x - 6)) adalah:
d/dx (x + 3 + 36/(x-6)) = 1 + 0 - 36 / (x-6)^2
= 1 - 36 / (x-6)^2

Untuk menyederhanakan lebih lanjut, kita bisa menyamakan penyebutnya:
= [(x-6)^2 - 36] / (x-6)^2
= [x^2 - 12x + 36 - 36] / (x-6)^2
= (x^2 - 12x) / (x-6)^2
= x(x - 12) / (x-6)^2

Jadi, hasil bagi adalah x+3, sisanya adalah 36, dan turunan dari ((x^2 - 3x + 18) / (x - 6)) adalah (x^2 - 12x) / (x-6)^2.